I : 5 m SIN MX
le signe <—— signifiant seulement que le second membre est Ja série de Fourier du premier, donc que 4&,, et b,, sont les constantes de Fourier de f(x).
Soit F(x) l'intégrale du premier membre entre O et x; on aura la relation
(2) Fri ie L/ EX) fe ax = 0.
MR dd
DS der e
Le +:
Mais F, étant continue et à variation bornée et s’annulant aux limites O et 27, peut se développer en série de Fourier ”nifor-
mément convergente entre Ü et 27 (n* 84 et 86), sous la forme a A dis nn DÉS NS MMPECX) EE 4 + - (A,, cos mx + B,, sin »1X).
Les coefficients de Fourier de F se ramènent à ceux de f par une intégration par parties. En effet, les termes aux limites s’annulant par (2), il vient, pour m = 1, | b
EMOGNS IT Pr UNE (0) nt
ni
I twis ; ; 1] TT 4 ( ; By = A! FOEMSINMAAX 7 \ F (x) AS TASSE Ter MT 0 mn
Le
Substituons ces valeurs dans (3). Eliminons ensuite À, et sous-
trayons membre à membre de l'équation (3) ainsi transformée celle
qu'elle fournit pour x — 0. Nous trouvons, pour X compris entre
U et 2r, le développement uniformément convergent
F(x) DE S bon (I aÿ FE COS MX) + in sin ur
l ni
C'est précisément ce qu’on obtient en intégrant le second membre de (x). L'intégration est donc permise entre O et 27 et, par suite,
dans tout intervalle à cause de la périodicité.
90. Sommation des séries de Fourier divergentes. = Sommer une série de Fourier divergente, c’est, connaissant cette série, déterminer la fonction génératrice. En d’autres termes, c'est déterminer f(x) quand on connaît ses constantes de Fourier.
Le théorème précédent fournit un premier procédé pour résoudre
cette question, car il permet de déterminer lintégrale indéfinie de
f(x) et, par conséquent, f(x) lui-même partout où f(x) est la
dérivée de son intégrale indéfinie, en particulier partout où f(x) est
continue.
Ce procédé de sommation est indirect. On peut aussi se servir des procédés généraux de sommation des séries divergentes étudiés par M. Borez (Leçons sur les séries divergentes). Nous allons indiquer
en quoi ils consistent.
91. Procédé général de sommation des séries divergentes. — Le procédé de M. Borel consiste à multiplier les térmes successifs de la série divergente proposée, à savoir
