AR ATOME AR AE

ui sont positifs et 1, non croissants d’un facteur au suivant, et RS 3 3

tendent tous vers l’unité quand 7 tend vers une certaine limite r,. On forme ainsi une série auxiliaire AO NTE

On s'arrange de manière qu’elle converge tant que r n’atteint pas sa limite. Alors si la somme de la série auxiliaire, qui dépend de 7, tend vers une limite quand 7 tend vers r,, cette limite sera, par définition, la somme (au sens généralisé) de la série proposée.

Cette généralisation serait évidemment inutile si l’on n'avait le théorème suivant :

THÉORÈME. — La somme d'une série au sens généralisé coïncide avec la somme au sens ordinaire chaque fois que la série converge.

Les termes de la série auxiliaire tendent vers ceux de la proposée. Reste à montrer que l’on peut passer à la limite dans chaque terme et, à cet effet, que la convergence de la série proposée entraîne, pour r variable, la convergence uniforme de la série auxiliaire.

Soit : un nombre positif. Posons RETRO Mes

La série étant convergente, on peut assigner un nombre N tel que

[ R:lrsoit <'e pour 7 > N.Lé reste s dela sénérauxiliairetest

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