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Tous les R sont de module < :, toutes les parenthèses négatives,

de sorte que, pour 7 > N, on a aussi OA NUE di) Re 1e

Donc, N étant indépendant de r, la convergence est uniforme.

92. Procédé de la moyenne arithmétique. — Le procédé de sommation qui précède avait déjà été appliqué par Poisson aux séries de Fourier. Poisson faisait 4, — r", r tendant vers l'unité. Nous avons fait connaître nous-mêmes un nouveau procédé du même genre (*). Nous laisserons ces méthodes de côté et nous allons étudier le procédé de la moyenne arithmétique, que M. FEJER a appliqué avec beaucoup de succès à la théorie des séries de Fourier. Ce procédé, qui rentre aussi dans les procédés généraux de M. Borel, consiste à attribuer comme somme à la série consi-

dérée, dont les 7 + 1 premiers termes ont pour somme S,, la limite

nn?

pour 7% infini, quand elle existe, des quantités

D ue On SotA UT) nl IL ko

Les facteurs ad de la méthode de M. Borel sont ici de la forme

(: — “) et tendent vers 1 quand le paramètre 7 (au lieu de r) tend

vers l'infini. Mais les coeflicients 4 deviennent tous nuls à partir d’un certain rang, ce qui peut être considéré comme un avantage, les sommes 5, définissant alors des suiles trigonométriques finies. Quand la série est convergente, le procédé de la moyenne arithmétique coïncide avec le procédé de sommation ordinaire, en vertu du théorème du n° précédent. Mais la réciproque n’est pas toujours vraie. Elle l’est cependant dans un cas important, comme

le montre le théorème suivant :