Théorème de Hardy-Landau. — Lorsqu'une série u, +u

+ 3 + … est positive ou, plus généralement, telle que le produit mu,

reste Supérieur à un nombre négatif fixe — À, alors, si la série est

(*) Bulletins de l’ Académie Royale de Belgique, n° 3, 1908.

AS AE 0 Et MST PRET D'D LOF RENE PULLS CAT VEN CONTE CL" CA UT RTS DT PO AS SN PTE Ê 1 : Bent bo ed MOTTE s î Fire s Le ? ra Ÿ

+ QU ONE LUE El À à UE LU ANT AR UE M pe œ É 4 à É MN 7e (ee fi : «: 1 14 Î {

sommable par le procédé de la moyenne arithmétique, elle est conver-

gente et on lut trouve, par conséquent, la même somme par le procédé

de sommation ordinaire. | Soit, comme ci-dessus,

m SEE D

ei 0 A 0 (o)

On entire, pour tout entier p < mm,

mi—1

à Es \ Je

2 Sy Re PO EUEE (mi JE P/Sm—p ET PSn—p AT} MS Li Ci p}e IN —p pl

>: S (mn + bonen RATIO NAE PSn+p Hs (Sp ar CAE

Mais on a, pour À compris entre m — p et m, et pour / compris entre "” et m + p, la parenthèse dans les expressions ci-dessous

renfermant au plus p termes, | A Sk Hi. SE TR OTEr He Un) < SE AM mp

6 À S Rs vu TR (int SET H) + Sn nn dat |

Substituant ces limites dans les précédentes équations, et divisant

par p, on en tire ni Sa PEAR ES Ne ee)" à mn m — p m—p p (om m 4 nt S CRE Penn PE PE L' COE ROUICE U m m m+p p | ( m+tp Sn)

Soit S la limite de s,,. Faisons tendre m vers l’infini, et: m — p:

avec lui, mais de manière que p : #57 tende vers un nombre positif

donné : d’une petitesse arbitraire. Nous tirons des relations

précédentes

lim S,, + ee 0 lim S,, —+<A &S

ie

Donc, étant arbitraire, lim S4=S;

94. Intégrale de Fejèr. — Dans le cas des séries de Fourier, 3 s'exprime par une intégrale remarquable, qu’il faut rapprocher

de celle de Dirichlet, et que nous appellerons intégrale de Fejèr.

à è ji CRE LS AR

SÉRIES DE FOURIER fit

La somme S,, étant fournie par Pintégrale de Dirichlet (n° 75),

il vient, en eflet,

et, en utilisant la formule de sommation suivante :

FRE Le LE ea COS ka — cos(k+r)x 1 — COS 712 Sn — sin (+ se — - CET 2 6 0 D o)

Ke

on trouve l'intégrale de Fejèr :

a] T A I ; Poe COST (5) NET Pas | J (x + se I AU 0 mr) r CS : TE & é :

Si l’on remplace (1 — cos 4) par 2 sin° m = et la variable d’in-

tégration à par 27, elle se ramène à la forme

m2 LG + 22 + fx — 21 (50) à

L'intégrale de Fejèr présente sur celle de Dirichlet un avantage précieux : le facteur qui multiple / est essentiellement positif, ce qui autorise l’usage du théorème de la moyenne. Nous allons immédia-

tement nous en servir.

95. Théorème obtenu par l’application du théorème de la moyenne à l'intégrale de Fejèr. — Si l’on désigne par L et 1 les bornes supérieure et inférieure de [ supposée bornée, toutes les sommes 5,, de Fejèr sont intermédiaires entre let L.

En effet, le théorème de la moyenne s'appliquant à l’intésrale de

PéléresnestiComprisé Entre

ol\* Eu mx Le et. —— , Ua MT )o MT Jo suc

À Ce

\S Sd

c’est-à-dire entre / et L, car, pour m = 1, on a nécessairement

roi : 2 DEAD NIE | (7) Re) ee mr jo \ Sin &

l'intégrale de Fejèr se réduisant à cela quand f se réduit à 1.

fi2 CHAPITRE IV. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

M. Fejèr a déduit de là un résultat très élégant :

Si f(x) est bornée comme ci-dessus par les deux nombres Let L et si les modules des produits ma,, et mb,, de ses constantes de Fourier par leur indice ne surpassent pas deux nombres fixes À et B quel que soit m,

alors une somme S,, quelconque de la série de Fourier est comprise

entre

[+ (AE 'B) et L + (A + B).

En effet, l’équation (4) du n° 92 peut s’écrire

PALIER Sh 1 D Ru, ant) Dans notre hypothèse, on a | Fu | = | Aa, cos RX ++ b, sin FX) | < À + B. Par conséquent, 5, — S,-, est compris entre + (A + B).

D'ailleurs 5, étant compris entre / et L, on obtient ainsi le théorème Énoncé.

REMARQUE. — Le théorème précédent est toujours applicable aux fonctions qui sont à variation bornée dans tout l’intervalle d’amplitude 27. En effet, les produits ma, et mb,, sont essentiellement bornés quand la fonction est à variation bornée. Il suffit de le prouver pour une fonction non décroissante. On a, dans ce cas, par le deuxième

théorème de la moyenne,

COS MX AR,

Vr : de .

\ J (X) cos mx dx =? ni y —T

Dan

— T JT

donc

fC— 7) — f(r) sin mË ESNE Tr cf T mn

et une formule analogue pour b,,, ce qui prouve la proposition.

APPLICATION. — On a, entre Ü et 27 (n° 87),

TX NSIDENESIn 2 CNED x

INT er CLÉ te ddl eu Re MSN Le de EN POS, PERS PARLE ARE | | «real uit = NH, Lee NP tr Dés Si ET EN SE IS EN ET RE. LT Me . C !

: T T MASON CAS pe Be ns A0) Br donc; quelque

soit 2, la somme

HN NSTILX sin 71X

est comprise entre + fé Ce 3

96. Condition de convergence du procédé de M. Fejèr. -— Supposons f(x) absolument intégrable. Cherchons la condition pour que 5,, tende vers une limite déterminée S. A cet effet, soustrayons de l’équation (6) l'équation (7) du n° précédent multipliée

par S. En posant, comme précédemment, (8) (x) = [GX E 24) + (X — 24) — 2S,

il vient

1 le SIT 771 NS pm mT a( ) sin &

La condition pour que 5, tende (uniformément) vers S est que cette intégrale tende (uniformément) vers OÜ. D'ailleurs, quelque petit que soit < positif, on peut, de proche en proche, remplacer

dans cette condition l'intégrale précédente par les deux suivantes :

(s, Sin #14 Sin M0 eh (ot el de, ne. =) c(œ) nu da,

car les différences de chacune de ces intégrales à la suivante s’expri-

ment par les intégrales

Fr UE AUX I I sin 7710 :

DUO MSIE PO | ea den eu rl | jy a (a) Ca sin” à ? se eC JT. il ,

qui sont respectivement de modules moindres que

I HE c ———— | da —— e(a la (a) | (E- Œ sin -) a MT = AAA

et tendent, par conséquent, uniformément vers Ü quand m tend vers infini. De là, la règle suivante :

RÈGLE. — Si f(x) est absolument intéorable, la condition nécessaire et suffisante pour que 5, tende [uniformément] vers S est que, à tout nombre positif w, on puisse faire correspondre deux nombres : et M

{indépendanis de x) tels que l’intévrale

; (a (2) do

soit de module < «w pour tout entier m > M.

Cette condition est évidemment réalisée si +(4) tend vers 0 avec %, car alors on peut prendre : assez petit pour que | o(x) | soit < w tant que à est < <, auquel cas l'intégrale précédente est de

module moindre que

P'e AE \ 9 RD D « sin #10 « sin & «) Rene GITES Let a mes MT Jo d 7 Jo 2

cette dernière intégrale ayant été calculée au n° 24.

C'est ce qui arrive : 1° en tout point de continuité, en faisant S — f(x); 2° en tout point de discontinuité de première espèce, en faisant 2S = f(x + 0) + f(x — 0). De plus, la convergence sera uniforme dans tout intervalle intérieur à un intervalle de continuité.

De là, le théorème suivant :

97. Théorème de Fejèr. — Le procédé de la moyenne arithmétique permet de sommer la série de Fourier d’une fonction f(x) absolument intégrable en tout point de continuité de f(x) ou en tout point de discontinuité de première espèce. La somme ainsi attribuée à la série sera