Remarques préliminaires. — Posons

sin X sin 2X sin 7X

mo =r (Er Lits)

Nous savons (n° 95) que cette fonction ne peut surpasser en valeur absolue une constante fixe À quels que soient # et x.

Soit maintenant # un entier > 7; les deux fonctions :

a(n, X) cos mx,

(1, X) sin mx,

admettent la même borne absolue A. Leurs développements de.

Fourier, écrits dans Pordre naturel des termes, sont respectivement

les sommes limitées de cosinus et de sinus ci-dessous :

1 Tim à ñn 4 () w COS Cm r)x. Ÿ COS (m + r)x

Le 4 À 7: T—| T

(2) Je set) A USIN ML r)x 2 2 Es he RS PT + ML" à

fœn 1 rl 4

Ce sont les propriétés des sommes partielles de ces deux développements qui vont nous servir. Nous appelons d’ailleurs somme partielle d'un développement de Fourier (dont les termes sont rangés dans l’ordre naturel) la somme d’un groupe quelconque de termes consécutifs de ce développement. | |

PREMIÈRE PROPRIÉTÉ. — Quand x varie de 2hk7 + & à 2kr + (27 — «), on peut assigner aux sommes partielles des développements (1) et (2) une borne absolue L(:), qui ne dépend que de &.

‘Il suffit évidemment de prouver cela pour les sommes des deux types suivants (dont les sommes partielles en question ne sont que

des combinaisons linéaires très simples) :

& cos (m + rx 5 Sin (m + r)x ( dd 9 —