ME LT M—T

NT on 0 ME A De 0 nl

D © DE —S- — —— > Log n — 71:

se r PARA 2m

100. Construction des singularités. — Soit maintenant TES 7 Pl

. une série illimitée convergente à termes positifs.

Considérons deux suites de nombres entiers croissants b

n°2 Cn(b, < c,) définis par leurs indices # — 1, 2,... Formons les deux séries :

ee) (1) ù ren, x) sin (cnx) — P (x); we) L à ù (I) se . (D, X) cos (ex) = F(x).

Ces deux séries sont absolument et uniformément convergentes, cat leurs termes sont de modules moindres que les termes correspondants de la série à termes positifs AËG,. Donc les deux séries ont pour sommes des fonctions de 4: toujours continues.

Faisons croître b,, assez rapidement pour que le produit 4, Log b, croisse à l'infini avec‘. Alors, par la deuxième propriété ci-dessus, le développement de Fourier du terme général de (1) renferme une

somme partielle infiniment grande avec 7 pour x = 247; celui du

terme général de la série (IT) une-somme partielle infiniment grande avec n dans le voisinage de x = 2h7.

Faisons croître c, avec 7 assez vite pour que les développements de Fourier de deux termes consécutifs de la série (1) ou de la série (II) ne renferment pas de termes semblables et ne puissent pas

se réduire entre eux. Il suffit pour cela de faire (*) Cn 7 Cn—1 35 Due a bn.

Alors les séries de Fourier des fonctions D et W° s’obtiennent en écrivant tout simplement à la suite les uns des autres les développements de Fourier des termes consécutifs des séries (1) et (II). Les sommes partielles relatives aux termes généraux de ces deux séries sont aussi, dans ce cas, des sommes partielles des développements de Fourier des fonctions ® et W.

Donc la série de Fourier de ® est divergente pour x = 2hk7; celle de Wne peut converger uniformément dans le voisinage de x = 2h.

Par contre, quelque petit que soit :, ces deux séries de Fourier convergent uniformément vers les fonctions et W dans Pintervalle de 247 + : à 2%x + (2x — :). Démontrons-le seulement pour la première, le raisonnement étant le même pour les deux. La somme S,, des premiers termes de la série de Fourier de ® se compose d’une certaine somme s,, des premiers termes de la série (D), plus une somme partielle du développement de Fourier du terme

suivant de (1) ; ce terme est

de (be a) sin (een):

Donc cette dernière somme partielle, de module moindre que.

d, L(:) par la première propriété qui précède, tend uniformément vers Ü quand 7 (ou #1) tend vers l'infini. lle est sans influence sur la convergence, de sorte que la série de Fourier de ® converge de la même facon que la série (1).

Les séries de Fourier de ® et W'ne peuvent donc cesser de con-

verger que pour les valeurs 2#7. Nous avons vu tantôt que celle

(*) On réalisera, par exemple, toutes ces conditions par le choix :

I è 12 A = —— D 20, DU ,

: + \ re \ 4 ' T { y «

de ® diverge : elle présente donc, aux points x = 2kr, la singularité de P. du Bois-Reymond. Celle de VW’, au contraire, converge pour X = 27 puisque tous ses termes sont nuls; mais nous avons vu tout à l’heure qu’elle ne peut converger uniformément autour de ces points : elle présente donc aux points x — 2kr la singularité de Lebesgue.

Les deux séries de Fourier de ® et de W sont respectivement des séries de cosinus seuls et de sinus seuls, mais elles ont les mêmes coefficients. On dit que les deux séries sont conjuguées. Les fonctions d et W fournissent donc un exemple de deux séries de Fourier conjuguées présentant l’une la singularité de P. du Bois-Reymond, Pautre celle de M. Lebesgue. C’est M. Fejèr qui a construit le pre-

mier exemple réalisant ces conditions.

oi. Remarque. - Si l’on modifie les définitions des fonctions et Wen remplaçant X par #X dans le terme général des séries (1) et (Il), les fonctions et W ne cessent pas d’être continues. La série de Fourier de ® devient divergente pour toute valeur de x commensurable à mr, mais nous ne savons plus comment elle se comporte pour les autres; la série de Fourier de W ne peut plus converger uniformément dans aucun intervalle, mais nous ne

sommes plus assurés qu’elle converge.

6. Séries trigonométriques quelconques Unicité du développement

102. Théorème de Cantor. — Lorsqu'une série trigonométrique (1) Ë à, cos mX + b,, sin mx est convergente dans un intervalle, ses coefficients tendent vers Xxéro quand m tend vers l'infini.

En posant (2)

nn De Fm cos ATTE b A

la série prend la forme

(2) > Em cos (x CA Âm)

pie a ac Eng Guns Mgr à dé SH Le A vain ner ER RS Pat A TT AG FE NS ER PANNE M Eh SE PEUR k Lx EEE a à re,

et si», tend vers O, à, et b,, tendent aussi vers 0. Nous supposerons donc que, dans cette série (2), il y ait une infinité de &, supérieurs à un nombre # > O et nous allons montrer que tout intervalle à contient un point de divergence.

Soit p un nombre quelconque donné ; montrons d’abord que tout

intervalle d'amplitude à en contient un autre à’ où un terme au moins d'indice tp de hsénerl2 ser dé modules #00:

En effet, un terme dans lequel +, est > #, satisfera à cette condi-

1m tion à la condition de prendre 7%» > p et m > = : à, car alors lintervalle à contient au moins un point X où | cos m (x —2,) | =

et, par conséquent, au moins un intervalle à où ce même cosinus

est de module > à

Parcourons maintenant les termes successifs de la série (2). Il y a un premier terme satisfaisant à la condition d’avoir son module > À : 2 dans un intervalle contenu dans à, soit à’ cet intervalle (où le premier à gauche en cas d’ambiguité); il y a un premier terme après celui-ci dont le module surpasse À : 2 dans un intervalle con-

tenu dans 0 ;"soit à

cet intervalle, et ainsi de suite. La suite illimitée d’intervalles emboîtés 3, 3”, 2",... admet au moins un point commun. En ce point, une infinité de termes de la série (2) sont de

modules > À : 2 et la série est divergente.

103. Dérivée seconde généralisée. — Soit /(X) une fonction de x. Nous poserons, pour simplifier l'écriture, cette différence

seconde ayant cependant ici une définition particulière, A9 = fx + D) Æ f(x — h) — 2 FC.

La dérivée seconde généralisée de f(x) est la limite pour h = 0,

quand elle existe, du quotient

SCD LLC + D + =D — 2/0 2 bp? ;

Cette limite est égale à la dérivée seconde ordinaire en tout

point x où cette dernière existe. En effet, la dérivée première existe