Théorème de Schwarz. — Une fonction dont la dérivée

seconde généralisée est constamment nulle dans un intervalle (a, b), est une fonction linéaire dans cel intervalle.

Observons d’abord que, pour h suflisamment petit, A*/(x) est < Ü en tout point où f(x) est maximée, et > Ü en tout point où cette fonction est minimée.

Donc une fonction ne peut pas avoir de maximum dans un intervalle où sa dérivée seconde généralisée est partout positive (et non nulle), ni de minimum si la dérivée est négative (et non nulle).

Soit f(x) une fonction continue dont la dérivée seconde généralisée est nulle dans tout l'intervalle (4, b); on peut déterminer une fonction linéaire px + q prenant les mêmes valeurs que f(x) aux

deux limites de l’intervalle. Alors, quel que soit : positif, la fonction

PC) — (x + 9) + x = G — »),

qui s’annule aux deux limites 4 et b, ne sera pas négative dans l'intervalle, sinon elle aurait un minimum (ce qui est impossible car la dérivée seconde généralisée, — 2:, est négative). Pour une

raison analogue, la fonction FD Gr + D DG = 9 | ne peut être positive. On a donc, dans (a, b), — — 0 G — 2) € CD — Ge + D x — DE — »); et, en faisant andré vers Oibvient (OCTO RDS)

FOX) = px + q.

Ce théorème peut être généralisé de la manière suivante :

Soit f(x) une fonction ayant une dérivée seconde généralisée nulle, sauf en un nombre limilé de points, dans un intervalle (a, b); si, en chacun de ces points AA te la fonclion est continue et que l’on ait

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