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la fonction f(x) se réduit encore à une fonction linéaire dans tout l’intervalle.

En effet, d’après le théorème de Schwarz, la courbe y — f(x) se réduit à une ligne polygonale continue, dont les sommets correspondent aux points singuliers. Soit X l’abscisse de’ un d’eux, la condition

ES D PE A 8) 2 D À ot 1

exprime que les deux côtés aboutissant à ce même sommet ont la

O == lim

même direction. Ils sont donc dans le prolongement l’un de Pautre et la ligne polvgonale se réduit à une seule droite.

CoroLLaiREs. — Le théorème de Schwarz fixe le degré d’indétermination d’une fonction dont la dérivée seconde généralisée est donnée : Deux fonctions qui ont la même dérivée seconde généralisée ne peuvent différer que bar une fonction linéaire. |

Plus généralement, deux fonctions qui ont la même dérivée seconde généralisée, sauf en un nombre limité de points singuliers, ne diffèrent que par une fonction linéaire, pourvu qu'elles soient continues et qu’elles satisfassent toutes deux à la condition lim A°f : h = 0.

Supposons maintenant qu'une fonction continue F(*) ait une dérivée seconde généralisée {(x) sauf peut être pour un nombre limité de points de l'intervalle (4, b), que f(x) n’ait qu'un nombre himité de points de discontinuité et soit intégrable (absolument ou non), enfin que F(X) satisfasse à la condition lim A°F : » = 0.

Alors on aura

E(1) = \ ax À FCO ax + pr +

En efet, F et l’intégrale double ont la même dérivée seconde

généralisée sauf aux points singuliers, et les deux fonctions satisfont

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