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2? .… m2 que l’on déduit de la première en intégrant deux fois chaque terme. Cette série sera uniformément convergente dans tout intervalle, car, À, ne pouvant surpasser en valeur absolue un nombre positif À, les termes de la série précédente sont inférieurs en valeur absolue aux termes correspondants de la série positive convergente

mr”. Donc la série (2) a pour somme une fonction F(x) continue pour toutes les valeurs de x.

La méthode de sommation de Riemann consiste à attribuer comme somme à la série (1) la dérivée seconde généralisée de F(x)

‘quand elle existe, c’est-à-dire la limite pour à — 0 du rapport Apt EC ae Er 2H) FPE 4

Cette méthode comprend comme cas particulier la méthode de

sommation ordinaire, ainsi qu'il résulte du théorème suivant : THÉORÈME. — S1 la série trigonométrique sommée par le procédé

ordinaire admet les limutes d’indétermination s — Let s + 7}, les

TO OR LL RC NS OR PR DR De den EM AL NP NU RU A

limites d'indélerminalion du rapport °F : 43° quand à tend vers zéro, seront comprises entre s — klel s + kl où kest une constante numérique que l’on peut assigner une fois pour toutes.

Si l’on tient compte des relations COS H(X + 23) + cos NX — 22) — 2 cos HX —= — 4 cos HX SIn° Hz,

sin H(x + 2x) + sin H(X — 2x) — 2sinnX — — 4 sin nX sin” Ha,

il vient facilement

(3) HAMERR pin RE (ee ne

(Le

Soit s, la somme des 7 premiers termes de la série (1); en substi-

tuant 5, à AT èt s,,:—5,.à A° ; Pexpression devient

sin &. SIT à sin #2 \” ne aile (ni —T}« na

ou encore, en introduisant des termes s qui se détruisent,

NPA RES (Co (ne r)a Cu De à Pre mx He | (n — I )x )— = ha :

Il reste à montrer que les limites d’indétermination de la somme

ajoutée ici à s sont comprises entre — / et + #!. Mais on peut, pour

cela, faire abstraction d’un nombre de termes aussi grand qu'on veut

au début, car tous ces termes tendent vers 0. On peut donc raisonner comme si toutes les différences s, —- s étaient, à un infiniment petit près, comprises entre — / et + J. Les limites d’indétermination de

la somme ajoutée à s sont donc de module inférieur à

V ( (ei )< ES be 1e e). Eh JQu—lja \ 4 | J(a—T)x œ

où X est la constante purement numérique

jen É ( =).

et cette intégrale existe, parce que son élément est infiniment petit