Deuxième théorème de Riemann. — Quand les
coefficients a, et b, lendent vers O pour n — =, le quotient
AP F{x + 23) — F(x) F(x — 29) — F(x)
tend vers Ü avec à quel que soit X.
En eflet, ce quotient est le produit de la série (3) par 2%. Quelque petit que soit « positif, le produit par 34 de la somme des termes en nombre limité où | À, | > + tend vers OÔ avec &. On majore donc la valeur absolue de la limite en remplaçant tous les A
par <, ce qui donné l’expression
sin & sin 2) (ee na ARE) ES) +. )+..
na
Soit p un nombre fixe; la somme des termes où #4 <7 p a pour
limite, par définition, l'intégrale définie
et elle est aussi petite que l’on veut avec :. La somme des termes
testants est inférieure à
DE
S me, ZE ou ne =) + (À — 1)a Dir A Dons:
elle est également infiniment petite avec :. Donc la mäjorante obtenue est infiniment petite avec :.et la limite considérée ne peut
être que OÙ.
107. Théorème d’unicité. — Si une fonction f(x), périodique de période 27, n’admettant qu'un nombre limité de points-de discontinuité dans la période et intégrable (absolument ou non), admet un
développement en série trigonométrique qui converge vers f(x), sauf
FAR QUE ES NP AT NT NT NE Tr RP EE NE PT TEE RON TO ONE RE TL RS CAN OPA PEU EC LORS
peut-être encore pour un nombre limité de points singuliers, alors cette série est celle (propre ou impropre) de Fourier.
Supposons que /(*) admette le développement
d ee :
+ 24, cos 1x + b, sin nx.
: I Lx
La série étant convergente, les coefficients 4, et b, tendent vers O0. On peut donc employer la méthode de sommation de Riemann et tout d’abord former la fonction F(x). Celle-ci aura pour dérivée seconde généralisée la fonction f(x), sauf pour un nombre limité de points. Mais, en ces points exceptionnels, la condition lim A°F : h — 0 sera réalisée, en vertu du second théorème de Riemann que nous venons d'établir (h étant égal à 2x). On a donc,
ainsi que nous l'avons déduit du théorème de Schwarz (n° 104),
F(x) = ix\ F162 AX + px + q; à
par suite, on a partout
e F'(x) = FO 4x + ph « et, sauf aux points exceptionnels, | 54
FAX EN):
Faisons encore h — 2%, on vérifie facilement l’identité 2 3 a: PE à A°F(x) =i Le + 1) — F'(x — | dt =| 1 FX + u)du. 1 J0 (e) —Ù{ die
«Nous connaissons le développement de A*F(x) en série de Fourier
uniformément convergente, à savoir é
| SEA sin 714 \” A°F(x) = 4 E (a; cos nx + b, sin nx) ( ; ) :
On a donc, par la loi de formation des coefhcients,
sin #a \° rCèr | | à 1( n Jan = à APCE) COS 71X dx: .
