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SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES QUÉLCONQUES php
Supposons d’abord que f(x) soit bornée. Remplaçons A*F(x) par sa valeur précédente sous forme d’intégrale double. On peut
intervertir les intégrations et l’on a
S Adi NO Cèr 100724); I :
1( } QE a dl \ du \ JCX + u) cos nx dx.
0 in, AU
Soient 4, et 5, les constantes de Fourier de f(x); on a, f(x) étant
périodique,
(e) ik
°èr ES = fCX + u) cos nx dx — = J{x) cos n (X — u) dx — 4 COS 74 + 6, Sin Nu.
Portant cette valeur dans la formule précédente, on observe que
l'intégrale de sin #u est nulle entre — { et /; et il vient
sin A4 *# 2 sin nf 12 COS 2nû 4 nr SE er D EI Re te HEREN n 2 21 Done x; de /mème sn — ÿ,. Le développement trigono-
métrique est celui de Fourier.
Supposons, en second lieu, que f(x) ne soit pas bornée. Enfermons les points de discontinuité de f(x) dans des intervalles d'amplitude +: et désignons par f(x, :) une fonction égale à f sauf dans ces intervalles où elle sera nulle. Donnons à : une suite de
valeurs tendant vers O0; les deux intégrales us
\ fx + u, €) du \. an f(X + u, +) du a 3
convergent uniformément quel que soit x vers leurs limites respectives L rÈx le \ fCX + u) du, \ dE fCX + u) du, ec (9) LV car elles n’en difièrent que par des intégrales singulières (existantes par hypothèse) dont la définition est indépendante de x.
Ainsi l’on a, successivement,
Ten ARC) lira \ dl \ FOX + u,:) du he à
En ONT10 I Cèr r° êT UNE À A'F(x) cc cosnxdx=—lim—\ cos 1x &x\ a JCX + 4, ©) du. "a 0 £&—0TR #3)
As VONT TT ARE À
dt SE
Maintenant la fonction f est bornée sous les signes / et on peut intervertir et effectuer les intégrations comme dans le cas précédent. Il vient, de la même facon,
sin 7% SAN A DR PT Ki LAN) in AL OR EC OS ARE & ;
n LAS £—0O
et, par conséquent, par définition des intégrales généralisées,
? $) DT ne f(x) cos nx 4x.
Donc 4, et de même b,, sont les constantes de Fourier de f(x). Toutefois, si f(x) n’est pas absolument intégrable, la série de Fourier est impropre.
CoROLLAIRE. — Une même fonction ne peul admettre deux développements trigonomélriques différents qui convergeraient vers la jonction sauf pour un nombre limité de points dans la période 27. (HEINE- CANTOR.)
Ce théorème est la conséquence du précédent. En effet, la différence de deux tels développements serait un développement trigonométrique de O satisfaisant aux conditions du théorème précédent, ce serait donc le développement de O en série de Fourier.
Tous les coefficients seraient nuls. Donc les deux séries dont on a fait la différence seraient identiques.
Les théorèmes précédents sont susceptibles de généralisations très importantes. Mais ces généralisations supposent une extension | de la notion d’intégrale définie qui est due à M. Lebesoue et que
nous nous réservons d'exposer éventuellement dans un autre volume.
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