RETRACE

qui a la même valeur initiale, car cette équation entre X et u satisfait

à toutes les conditions admises pour l'équation (1). Il est facile

d'intégrer cette équation ; divisant par w, on en tire, puisque #, = I, xp.

D log uw =" f(x, FE), log u =| fx; E) dx.

Il vient ainsi 4 62

| CD & M == F (x, = 6

ce qui met en évidence que cette dérivée est, en même temps que F et f(x, F), une fonction continue de x, 7, et que cette fonction

ne peut jamais s’annuler.

121. Théorème III. — Sous les conditions du théorème précédent, c’est-à-dire si f(x, y) et f (x, y) sont des fonctions continues dans le

domaine D, l'intégrale

RNCS) peut être résolue par rapport à y, et la fonction Yo —= P(X, 7)

sera une fonction différentiable des deux variables x, y dans le domaine D.

En eflet, en vertu du théorème précédent, F(xX, y,) et une fonction différentiable dont la dérivée F’, ne s’annule pas. Cela suffit pour entrainer l’existence et la différentiabilité de la fonction impli-

cite y, (t. I, n° 121, remarque finale).

ÉXISTENCE DES INTÉGRALÉS i4i

VW 4. Existence des intégrales d’an système d'équations différentielles

Les résultats obtenus pour une seule équation dans les deux paragraphes précédents peuvent être étendus à un système d’équations différentielles simultanées. A cet effet, il faut tout d’abord

généraliser la condition de Lipschitz.

122. Condition de Lipschitz. — Soit ff, x,, xX,,... x.) ou, en abrégé, f(f, x) une fonction continue de #7 + 1 variables 4, x dans un domaine D. Nous supposerons ce domaine convexe, c’est-à-dire qu'une droite de lhyperespace ne pourra couper sa frontière qu’en deux points. Nous dirons que la fonction f({, x) vérifie la condition de Lipschüz relativement aux variables x dans le domaine D, si l’on peut assigner une constante positive M (constante de Lipschitz) tel CHEQUE que oienties deux points (LM ANA MECS CEE X,), de même {, dans le domaine D, la somme Y s'étendant aux

RHONE 2, 7e | CE; pre X) NU ARE Xn) | < D a nt |

Cette condition sera réalisée, en particulier, si les dérivées partielles de f par rapport aux X sont bornées dans le domaine D, auquel cas leurs modules admettront une borne supérieure com-

mune M, qui sera la constante de Lipschitz correspondante.

123. Théorème d’existence et d’unicité. — Considérons maintenant un système de # équations différentielles simultanées entre #% fonctions inconnues %X,, X9,... X, de la: variable indépendante /. Ce système est de la forme normale s’il est résolu par

rapport aux % dérivées inconnues, c’est-à-dire s’il est de la forme

(1) NPA Ta Nr):

Voici quel est, dans ce cas, le théorème d’existence et d’unicité : THÉORÈME. — S2 les fonctions f; sont continues dans lé domaine convexe D ; si elles satisfont à la condition de Lipschitz relativement aux

variables x et que l’on désigne par (li, Xi5,... X,,) au point intérieur au domaine, le système (2) admet, dans ce domaine D, un système

d’intégrales

\, ZE HF) X, re FC),

se réduisant respectivement à Xj6,.. Xno Pour it = 1, el ce sys!ème est unique.

La démonstration se fait en généralisant, sous ces conditions, les

trois théorèmes du paragraphe 2.

124. Théorème I. — Considérons, dans le domaine D, deux courbes passant par le point initial (t,, x,). Soient respectivement Kai Ko vee Kiel Nu Dose nes valeurs (Jonclionside tt) des Who bles x sur ces deux courbes. Si chacune des fonctions x; et X; (4 — 1, 2,... n) admet une dérivée bornée el intégrable et satisfait à l’équation (2), sauf les erreurs respectives w; et Q;, la somme des modules de toutes les erreurs w; el Q ne dépassant pas <:, on cura,

dans le domaine D,

n < D | X; — x; | St (etes oi U où

où M est la somme des constantes de Lipschitz, M;, relatives à toutes les

fonctions f;.

On a, par hypothèse,

Xi fiG, x) + oi, Ki =, X) +0, d'où, par soustraction membre à membre,

Xi ai TAC, X) — AG, à) | + 1 9 — où | | SM PNR ER ANNE

et, en additionnant pour tous les indices,

Pl tt ANR

Posons u ZE | X;—x; |, d'où UV DEUX REED NX" ete il vient a fortiori nu << Mu + 2.