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Cette inégalité est semblable à celle qui a été obtenue au ( 2 et la démonstration s'achève de la même manière, en substituant, au
besoin, des polvgones inscrits aux courbes.
125. Théorème II. — Quelque petit que soit : positif, on peut tracer dans le domaine D une ligne continue, x; — @;(n) (i=1,2,...n)
passant par le point (f,,x,),lelle que les w; aient leur dérivée intégrable et vérifient le système (1) avec des erreurs absolues dont la somme est < =. Si: lend vers O, les o; tendent vers des intégrales F;(x) de valeur initiale x;..
La démonstration faité au À 2 se généralise d’elle-même. On peut construire dans l’hyperespace une ligne polygonale qui répond à la question. On partage le domaine D en domaines élémentaires x assez petits pour que la somme des oscillations des fonctions f(#, x) soit < = dans chacun d’eux. Cela fait, on trace, en partant du point initial avec la direction imposée en ce point, une ligne polygonale dont la direction change au passage d’un élément x dans un autre, chaque côté ayant la direction imposée au passage de la frontière. Cette ligne vérifie le système différentiel au degré d’approximation :. Si l’on fait tendre < vers O, cette ligne tend vers une courbe intégrale, comme dans le cas de deux dimensions. Comme dans ce
cas encore, on obtient la proposition suivante :
126. Théorème III. — Ze système des intégrales F(t) de valeurs initiales x;, est unique dans le domaine D. Tout système de fonctions x; ayant les mêmes valeurs initiales qui satisfait approximativement aux équations, diffère aussi peu qu'on veut du système intégral, pourvu que les erreurs soient assez petites. D'une manière plus précise, si la somme des erreurs absolues commises sur chaque équation est < 2, on a, dans
le domaine D,
Ex; — EF) | < st AG QU DE
Ces propositions fournissent une méthode pour le calcul prop approché des intégrales dont on donne les valeurs initiales x;,
pour = Ï,,.
L au FAN Li PR Ta 4 CRE CURE TT NUE OUT CE EN D de 7 de 2e 4 L Ù PU AE D T K LU Mans HA DL" sl
Ç 5. Propriétés des intégrales d’un système d'équations différentielles
127. Le système intégral considéré comme dépendant des valeurs initiales. — Le système intégral des équations () du paragraphe précédent dépend des valeurs initiales X,5,... X,,
pour ft. Ecrivons-lésons la Torme fire GA Xp. AE (1 RTE n).
Nous pouvons énoncer les théorèmes suivants :
128. Théorème I. — Si les fonctions f (1, x) du système différenliel sont continues et, en outre, lipschitziennes par rapport aux x, les intégrales x; sont des fonctions continues des valeurs initiales xs. Si l’on donne, à l’une en particulier x;, des valeurs initiales, un accroisse-
ment AX;,, les accroissements AX, qui en résultent pour les fonctions Xy
(À — 1, 2... n) satisfont à ia condition
dd
me - M — Axx | < | AXE | CRE 1 fol
où M désigne, comme précédemment, la somme des constantes de Lipschiüz relatives aux fonctions f (t, x).
Donnons aux valeurs initiales x;, un système d’accroissement Ax;, et soit Ax; le système correspondant d’accroissement des fonctions x;. Le système de fonctions (x; + Ax; — Ax;,) (de valeurs initiales X;,) vérifie le système différentiel; sauf des erreurs de la forme
| fG, x + Ax — Ax,) — f(, x + Ax) |
dont la somme est inférieure à M £ | Ax;, | . Or la différence de
ces deux intégrales de même valeur initiale est x; + AX; — AX) — x; = AX; — AÀX;; il vient donc, par la proposition IT du n° 126,
\\ cmd
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ÉXISTENCE DES INTÉGRALES 14$
Annulons les accroissements des valeurs initiales sauf un seul, Ax;,, dans cette relation; puis ajoutons le même terme | Ax,, | aux deux membres. La relation peut alors s’écrire comme il suit :
Sa pd FUN NE EE A: rs Al AXE RATE ere to É
Mais la somme
| Ax,— A%,, | — | Ax, | + | Ax, |
est nulle si | AX; ; CSM TE RCT DOSItIv ESPN es, ER On peut donc supprimer cette somme de la relation précédente,
qui subsiste alors à fortiori, ce qui prouve le théorème.
129. Théorème II. — S; les fonctions continues f (+, x) admettent, en outre, par rapport aux x, des dérivées partielles continues dans le domaine D, les intégrales F(t, x,) admeltent des dérivées partielles par rapport aux X,, el celles-ci sont fonctions continues des variables 1, x,.
Considérons les deux systèmes d’intégrales x et x + Ax, Île premier de valeurs initiales X,, le second avant les mêmes valeurs initiales sauf une seule x;, qui est remplacée par x:, + Ax,,. Ces deux systèmes vérifient les équations différentielles et, en soustravant membre à membre les équations correspondantes, il vient
CNE TE REA D) FOUT) )e St RAT Ne ft).
Divisons par Ax;, et faisons tendre cet accroissement vers 0; les quotients Ax : Ax:, sont bornés, en vertu du théorème précédent, et les fonctions /, sont difflérentiables en x; on a donc, sauf une erreur infiniment petite sur les seconds membres,
. rs 2 “ Se 1 = GS)=s hd quren
Donc, par la Faure II din? 126, des quotients Axe : Axs
ont pour limites les dérivées, bien déterminées, RU rl À à
qui sont les intégrales de mêmes valeurs initiales du système d’équa-
tions linéaires
Vol. IL. 10
* = 2 PAP ! 5, % v PER EU , PT es ES 2 PTE Has, Here SRE hr ASS té
et ces valeurs initiales sont toutes nulles, sauf celle de w;; qui est écale ar. | Ces dérivées #,; existent donc, mais elles sont, de plus, fonctions
continues des x;,. En effet, si l’on altère infiniment peu ces valeurs
initiales, on altère infiniment peu les X; et, par conséquent, aussi les
coefhcients . des équations linéaires qui précèdent. Les anciennes
valeurs des #1; satisfont donc aux nouvelles équations linéaires sauf
une erreur infiniment petite, donc elles sont infiniment voisines des
nouvelles intégrales u;, les valeurs initiales, 0 ou 1, étant les mêmes.
