MERDE (LS EX) EMA AE

De plus, les fonctions D,(#, x;) sont différentiables relativement aux

variables t, x;.

En effet, les F; sont différentiables et leur jacobien | ne s’annule pas. Cela sufht pour entrainer l’existence et la différentiabilité des

fonctions implicites x4, (t. [, n° 122).

132. Théorème V. — Si, ën plus des conditions antérieures, les fonctions f(+, x) ont leurs dérivées partielles par rapport aux x continues jusqu'à l’ordre n, les intégrales Ft, x,) admettront, par rapport aux

valeurs imiliales X,, des dérivées partielles continues jusqu’au méme

ordre n.

Ce théorème se réduit au théorème IT pour # == 1. Pour lPétablir en général, supposons le démontré pour 7 — 1 et montrons qu'il

subsiste pour #. À cet effet, considérons le système

Te er Qt ee . U}; 1, 2,5%, n}, ]

qui a pour solutions les dérivées premières des X4 par rapport à x; il satisfait aux conditions du théorème V à démontrer jusqu'à l’ordre 7 — 1. Mais le théorème est admis pour cet ordre, donc les dérivées des dérivées premières des x} sont continues jusqu'à

l’ordre #7 — 1. Donc le théorème V subsiste pour #.

133. Cas où les équations différentielles dépendent de divers paramètres. — Plus généralement, supposons que les équations différentielles dépendent d’un certain nombre de para-

Fr

mètres +, 2, Les équations (1) sont alors de la forme

(1) Reg A NOUS MALTE CCE à AA IAE

Le système intégral dépendra des mêmes paramètres et des

valeurs initiales, et sera de la forme

(2) ART EX Sy 0 0E) CET)

f L'analyse précédente s'étend au cas où lon fait varier simulta-

nément les valeurs initiales et les paramètres.

1° Les solutions x, seront des fonclions continues des valeurs initiales el des paramètres dans tout domaine où les fonctions f(t, x, 2,...) sont continues par rapport aux variables el aux paramètres et, de plus, lipschitziennes par rapport aux x,.

En effet, une variation infiniment petite des valeurs initiales et des paramètres entraîne une variation infiniment petite des seconds membres des équations (1); donc les anciennes intégrales sont infiniment voisines des nouvelles.

2° Si les dérivées premières des fonctions f (1, x, 4,...) par rapport à l’un des paramètres sont, en outre, continues, les solutions x, auront,

\ [à . è ° . Xk .

par rapport à 2, des dérivées premières continues uy = =. Celles-ci

seront les solutions u du système À: à a Ôf4 3) Wyyu D he U] de un (/ = Ta; n), |

dont les valeurs initiales sont nulles.

Ceci suppose toutefois que les valeurs initiales des x, ne dépendent pas de x. Le théorème subsiste si ces valeurs sont des fonctions de à dont la dérivée est continue. Maïs alors la valeur initiale de Ux OXk

Üa

Ces conclusions s’obtiennent par les mêmes raisonnements que

est

le théorème IT du n° 129. I y a ici un terme en plus dans l’équation (3), parce que x entre explicitement dans f,, tandis que les valeurs initiales n’y entrent qu'implicitement par les x.

3° Si les dérivées des fonctions f(t, x, 4,.….) par rapport aux variables x et aux paramètres, existent et sont continues jusqu'à l’ordre n, les solulions x, admeitront, par rapport aux valeurs initiales x, et aux paramèlres, des dérivées partielles continues jusqu’à l’ordre n.

Ce théorème se réduit au précédent pour # = 1. On l’étend de

l’ordre 7 — 1 à n, en observant, comme dans la démonstration du