Une seule équation du premier ordre. — Considérons

d’abord l'équation différentielle unique, du premier ordre, HA CA)

Nous avons vu, moyennant certaines conditions, que cette équation admet une solution y dont la valeur initiale y, pour x = x, est arbitraire. La solution doit donc dépendre d’une constante arbitraire C (qui peut être, en particulier, 7,). On appelle intégrale générale de l'équation, une solution y qui dépend d’une constante arbitraire C, ou une équation définissant y et contenant C. Mais il faut que la constante C permette d’attribuer à y une valeur arbitraire y, pour æ = «,. Toute intégrale qu’on déduit de l’intégrale cénérale par une détermination spéciale de la constante, est une intéorale particulière.

Dans tout domaine où se vérifient les conditions de continuité du théorème d’existence (n° 113), en particulier si f et f, sont continues, l’intégrale générale donne la solution complète du problème de l’intéoration, car il ne passe qu’une seule intégrale par chaque point (t,, Y,), c’est donc lintégrale particulière passant par ce point.

Mais, dans un domaine où les conditions de continuité n’ont plus lieu et à supposer que l'intégrale générale définie plus haut subsiste, l’équation peut admettre exceptionnellement des intégrales ne rentrant pas dans l’intégrale générale. On donne à celles-là le nom

d’intésrales singulières.

135. Système d’équations. — Soit un système de 7 équations différentielles simultanées entre une variable indépendante { et 7

OOo Ty n Lors .L, de,

DOTE Ci) do, St) GR PRO TI):

Comme on peut se donner arbitrairement les valeurs initiales des fonctions & pour / =— /,, la solution doit dépendre de # constantes arbitraires. On donne le nom d’intéorale générale à une solution, c'est-à-dire un système de 7 fonctions x (ou de relations servant à les définir), qui dépend de # constantes arbitraires distincles, et lon entend par ce mot que les constantes arbitraires permettent d’attribuer aux % des valeurs arbitraires pour { = f,.

Les intégrales qui sont comprises dans l'intégrale générale par une détermination spéciale des constantes sont des intégrales particulières.

L'intégrale générale fournit la solution complète du problème de l’intégration dans tout domaine où les conditions du théorème

fondamental d’unicité sont vérifiées. Mais, dans un domaine où ces

conditions viennent à manquer, des intégrales singulières non com-

prises dans l’intégrale générale deviennent possibles.