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cosec A- --=

Dans toute l'étendue de ce cours, les angles sont supposés mesurés par la longueur de l'arc qu'ils intercej)tent sur la circonférence de rayon un. Dans les formules précédentes, a- désigne donc un arc de cercle.

38. Fonctions circulaires inverses, — Les fonctions circulaires étant périodiques, reprennent la même valeur pour une infinité de valeurs de la variable. Donc leurs inverses, aj'^ant une infinité de valeurs pour chaque valeur de la variable, sont des fonctions à déterminations multiples. Nous allons montrer toutefois que l'on peut associer ces valeurs entre elles, de manière à définir une infinité de fonctions distinctes, dont chacune sera uniforme et continue et constituera une branche de la fonction.

i*' La fonction v =- are sin a- est la fonction inverse du sinus, c'est la fonction implicite y définie par l'équation

X = sin )-. Quand y croit de à -f -, a passe une seule fois par chacune des valeurs comprises entre — i + i. Donc, à chaque valeur de A' dans l'intervalle ( — i, + i), ne corres^Dond qu'une

seule valeur de y dans l'intervalle f — -, -f 7- )• -^^^^^ ^^^'^^^ que cette valeur est la valeur principale de arc sin ,v.

La valeur principale de arc sin a* varie d'une manière continue avec A et elle croît de à 1- - quand a croit de — i à

+ I ; elle définit la branche principale de la fonction et nous considérerons celle-là chaque fois que le conti'aire ne sera pas dit expressément.5

La fonction arc sin .v a une infinité d'antres branches. Mais il est facile de les ramener à la principale. En effet, les seules valeurs qui laissent sin y invariable s'obtiennent en changeant y en tt — y ou en ajoutant à ces deux arcs un nombre A- entier (positif ou négatif) de circonférences. Donc toutes les autres valeurs de l'arc sinus s'expriment au moyen de la principale par les deux formules :

y = arc sin x + 2A-77, y = (- — arc sin x) -j- 2A--,

où l'on donne à arc sin .y sa valeur principale. En même temps, chacune de ces formules définit, pour chaque valeur de k, une branche distincte de la fonction.

La fonction arc sin .v n'a de sens jusqu'ici que si x est compris dans l'intervalle ( — i, 4- i) ; en dehors de cet intervalle, l'expression arc sin .v ne représente plus rien.

2P La fonction y =- arc cos .v se ramène à la précédente par les relations :

^ cos y

-= sin

--= arc

sin

arc