FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

30. Définitions relatives à la continuité. — Une fonction f{\-, y,...) est continue au point (a, b,...) si f{x, y,...) a pour limite f{a, b,...) quand x, y,... tendent respectivement vers a, b... d'une manière quelconque, c'est-à-dire quand \ x — a \ -j- ] y — b \ ~\- ... tend vers 0 ; ou, ce qui revient encore au même, si l'oscillation de f{x, y,...) dans le domaine infiniment petit limité par les valeurs a ± e de x, b i 't] de y,... a pour limite 0 quand e, r\,... tendent vers 0.

La fonction f{x\ y....) est continue dans un domaine D si elle est continue en tout point intérieur à ce domaine et en tout point de sa frontière. Seulement, sur la frontière du domaine D, la condition de continuité, exprimée par l'équation

lim f{x, y,...] = /"(liiii «v, lim y,...). est seulement relative au cas où les variables tendent vers leurs limites sans .sorf/r du domaine T>.

La fonction est continue dans le voisinage d'un point (a, b,...) lorsqu'elle est continue dans un domaine suffisamment petit comprenant ce point dans son intérieur (au sens étroit).

Lorsqu'une fonction n'est pas continue au point (a, b,...), elle est discontinue en ce point.

D'après ces définitions, une fonction peut être continue par rapport à chaque variable x, y,... variant seule, sans l'être x^ar rapport à l'ensemble de ces variables.

31. Continuité des fonctions composées. — I. La somme, le produit, le quotient de deux fonctions continues sont des fonctions continues, sauf si une fonction prise comme diviseur s'annule.

La démonstration est la même que pour les fonctions d'une seule variable (n° 25).

II. Si u, V..., sont des fonctions continues de x, y..., et si F (u, V,...) est une fonction continue de u, v,..., F sera aussi fonction continue de x, y....

Faisons tendre a-, y,... vers a'o, )',,,... et soient Uq, Vç,,... les valeurs de u, v,... en ce point. Les fonctions étant continues, on aura effectivement :

lim F {u, V,...) = F (lim u, lim v,...) = F (uo, Vo,...).

De là, nous concluons encore que les fonctions composées de plusieurs variables ne peuvent devenir discontinues que si l'une

des fonctions composantes devient discontinue ou si l'on doit faire une division par zéro. Ce résultat généralise celui obtenu au n" 25 et le renferme comme cas particulier.

32. Converg-ence uniforme. — Soit f{x, y, z-,...) une fonction de plusieurs variables. Il se peut qu'elle tende vers une limite déterminée cp {y, z,...) quand on fait tendre .v vers une valeur particulière a. On dit que f{x, y, z,...) converge uniformément vers sa limite dans un domaine déterminé y, z,... si, à tout nombre positif e, correspond un nombre 8, indépendant de y, s,..., tel qu'on ait

sous la seule condition | .v — a \ < 8, et cela dans tout le domaine y, z,... considéré.

La fonction f{x, y, z,...) peut aussi converger vers une limite cp {y, z,...) quand .x; tend vers l'infini. Pour que la convergence soit uniforme, il faut qu'à tout nombre -e corresponde un nombre N INDÉPENDANT DE y, Z,..., tcl quc la relation (1) ait lieu sous la seule condition a- > N dans tout le domaine y, z,... considéré.

Ainsi, par exemple, la fonction

a pour limite 0 quand .y tend vers l'infini, et cela pour cliaque valeur de y, mais la convergence n'est pas uniforme si y peut varier d'une manière quelconque, car, quelque grand que soit .v, on peut encore choisir 3^ de manière à rendre la fonction aussi grande qu'on veut.

§ 5. Fonctions élémentaires *.

33. Exposants fractionnaires. — Dans sa signification primitive, un exposant indique le nombre des facteurs égaux d'un produit :

(*) Les déliniliouîs des loue-lious exponentielle et logui'itlinie appartiennent aux éléments de l'alg-èbre. Ces définitions et les propriétés fondamentales de ces fonctions sont déjà familières à ceux qui abordent l'étude de l'analyse infinitésimale. En les rappelant brièvement ci-dessous, notre but est de les rattacher aux principes généraux et de faire saisir dans son ensemble la cliaine des déductions qui y conduisent.

FONCTIONS ELEMENTAIRES 3l

a:" désigne le produit de m facteurs égaux à a\ On généralise déjà en algèbre élémentaire la notion des exposants par la définition des exposants fractionnaires et négatifs. Si a désigne un nombre positif quelconque, l'équation x^ =-• a, où ii est un entier positif, a une racine positive et une seule que l'on appelle la

racine arithmétique n''-'*»^' de a. On la représente par "\/a ou a" .

On pose ensuite, par définition, a" = "\/a"', .v° — i, a— «= — ^,

a désignant une fraction quelconque. Ces définitions suffisent pour établir, sans aucune difficulté, toutes les règles du calcul des exposants rationnels positifs et négatifs. Xous supposerons ces résultats acquis dans les éléments.

34. Fonction exponentielle. — Soit a un nombre positif, la définition de la fonction a^ l'ésulte de celle des exposants fractionnaires pour toutes les valeurs rationnelles de .v. Lorsque avarie sans cesser d'être rationnel, la fonction a^ est continue pour chaque valeur de a- et elle varie en croissant de 0 à i et de I à 00 quand a- lui-même varie dans le même sens de — oo à 0 et de 0 à 00. Cette propriété permet de définir, par un passage à la limite, la fonction a^ pour les valeurs irrationnelles de a* et de donner, par conséquent, la définition des exposants irrationnels. Si a est irrationnel, a'^ est la limite de a^ quand x tend vers ce. sans cesser d'être rationnel. La fonction a^ se trouve maintenant définie pour toutes les valeurs réelles de a", elle est encore constamment croissante avec a- et continue pour toutes les valeurs de cette variable.

Les propriétés essentielles de la fonction exponentielle sont exprimées par les équations

Celles-ci se démontrent directement dans le cas des exposants fractionnaires et elles s'étendent, par un passage à la limite, au cas des exposants irrationnels. Nous supposerons encore ces résultats acquis dans les éléments.

35. Fonction log-arithme. Puissance quelconque, — Soit a un nombre > I ; le logarithme d'un nombre positif m, dans le système de logarithmes dont la base est a, est l'exposant auquel il faut

élever a pour reproduire m. Tout uombre positif m a un logarithme et un seul dans la base a, car, a^ croissant de 0 à oo quand .v croît de — ce à + x, l'équation a^ = m a une racine et une seule. Xous représenterons cette racine par Loga.v.

La fonction Loga A' est définie par là pour toutes les valeurs réelles et positives de a- sauf a = 0 ; elle croît successivement de — X à 0, de 0 à I et de I à l'infini, quand a lui-même croît de 0 à I de I à a et de a à l'infini. Elle est continue pour toutes les valeurs de x sauf a = 0.

Les propriétés fondamentales du logarithme correspondent à celles de l'exponentielle a^, elles sont exprimées par les équations :

Log« A -h Log« y = Logrt xy, Log» a''* = m Log« a.

Lorsque la variable a est positive, une })iiissance, x" , est définie par ce qui précède pour toutes les valeurs réelles de a. On a, en effet, le logarithme étant pris dans la base A,

yM __ rjtj^ogccia ^ J^a Log x^

Cette fonction s'exprime donc par les fonctions exponentielle et logarithme. Elle est continue pour toutes les valeurs positives de A.

36. Logarithmes naturels. Nombre e. — Les logarithmes naturels sont ceux qui ont pour base le uombre e que nous allons définir. Comme on le verra, ce sont ceux qui se présentent le plus naturellement dans le calcul différentiel et nous n'en aurons guère d'autre à considérer. Xous conviendrons de désigner par LogA A le logarithme de a* dans la base A, et par Log a (sans indice) son logarithme naturel.

On définit d'abord le nombre e comme limite de l'expression

quand n est un entier qui tend vers l'infini, et cette limite est finie et déterminée, car nous allons montrer que cette expression est croissante et bornée.

Elle est croissante, car elle se développe par la fornuile du binôme dans une somme de n -4- i termes :

77 1.2 7î' 1.2 ... p nP

Or le nombre des termes augmente avee n et eliaque terme aussi.

Ensuite l'expression est bornée, ear le terme de rang (/> + i) (écrit en dernier lieu) est moindre que

et la somme entière, moindre que

Donc le nombre e est compris entre 2 et 3. Nous apprendrons plus tard le moyen de le calculer. Sa valeur approchée est

Théorème. — Plii.s généralement , y. tcndanl vers 0 dune nninière quelconque, on a

lim (i 4- a)« = e.

En effet, si a est positif, r : -/ est compris entre deux entiers consécutifs n et n -j- i qui augmentent à l'infini, et l'on a

Donc (I + ^y tîst compris entre deux (quantités qui ont pour limite e :

Si a est négatif et > — i, on pose i + « = i : (i -f (^), de sorte que § tend vers 0 en restant positif, et l'on a

(l4-a)'^=(i+P) •' ^-(i+f5).(l + P)P, ce (pii ramène au cas précédent.

34 FCJNCTIOXS ÉLÉMENTAIRES

37. Fonctions circulaires directes. — Les fonctions trigonoraétriques sont définies dans les éléments i)ar des considérations géométriques. Xous supposerons connues leurs propriétés les l^lus élémentaires.

Toutes les fonctions trigonométriques peuvent se définir au moyen de l'une d'elles, considérée comme fondamentale, par exemple sinA-, au moyen des formules :

• /^'^ ^ ^ sin.v , , /''î ^

COSA- = Sin A , tgA^ , COtA- = tg A ,