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f(f dx.
On partage l'ensemble E en deux autres où cp ne change pas de signe. En raisonnant sur ceux-ci séparément, on est ramené au théorème III.
Théorème VI. — Si la suite des fonctions fi,fo,...fu,... sommables dans E, tend vers une limite f, sommable aussi, de telle façon que les fonctions {f—fn )~ soient encore sommables et leurs intégrales dans E bornées dans leur ensemble, c'est-à-dire inférieures à une constante h indépendante de n, Véquation (1) subsiste encore (Riesz).
En eftet, tout revient, comme dans la démonstration du théorème I, à montrer que l'intégrale (2),
r {f-f,)dx,
tend vers 0 avec mJLn. Ceci résulte de l'inégalité de Schwarz (n" 249), qui montre que le carré de cette intégrale est inférieure à
( [ {f-fnY dx^ ( f dx^< h{m^„).
251. Intégrale indéfinie. — Avec M. Lebesgue, nous appelerons intégrale indéfinie l'expression
¥{x)={^f{x)dx + C.
On suppose que x varie dans un intervalle oi\f{x) est sommable et que C est une constante. D'après cette définition, si l'on désigne par Aj^F la différence de F(;ir) dans un intervalle a, c'est-à-dire la différence F(;t") — F(;*;') relative aux extrémités de l'intervalle a ou {x\ x"), on a
(/{x)dx:
in
^aF.
Ainsi l'intégrale de f dans un intervalle a est égale à la différence de F dans cet intervalle.
Théorème. — ISintégyale indéfinie, ¥{x), est une fonction à variation bornée, absolument continue, et sa variation totale dans {a, b) a pour valeur
f \f{x)\dx.
Nous allons prouver ces diverses propositions. Rappelons d'abord que toute fonction sommable, /, est la différence /i — ft de deux fonctions analogues mais non négatives (no 248). D'après cela, nous avons
Fw= \^fdx=. ^y,dx-^y,dx,
en sorte que la fonction ¥{x) est la différence de deux fonctions continues non décroissantes : elle est donc à variation bornée (n» 88).
Ensuite F{x) est absolument continue. En effet, soit E l'ensemble d'une infinité dénombrable d'intervalles a, on a
S I Aa F I
I\jjdx\^j^\/\dx
Cette dernière intégrale est aussi petite qu'on veut avec wE, par la propriété I du no 249 ; donc la somme des différences absolues de F dans un ensemble d'intervalles tend vers 0 avec la somme de ces intervalles, autrement dit, F est absolument continue (n» 89).
Cherchons maintenant la variation totale de F dans l'intervalle {a, b). A cet effet, partageons {a, b) d'une manière quelconque en intervalles consécutifs. Désignons, en général, par a ceux où la différence Ajt F est positive, par 3 ceux où A3 F est négative. Les sommes ^ et — n des différences positives et des différences négatives (no 86) ont pour expressions :
^(fdx, -n=:^f
fdx.
Donc, si E/ désigne l'ensemble des points de {a, b) où/> 0, E« celui où/ < 0, les bornes supérieures P de ^ et N de n sont assujetties aux inégalités :
P^ 1 fdx,
( fdx, N^— I fdA
