DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS 26Ô

I /« I (car on peut prendre pour F les ensembles où /« ne change pas de signe). D'ailleurs | /« | a pour limite |/| . Il suffit donc de raisonner sur les modules. Autant admettre que les fonctions sont positives. Dans ce cas, on a, avec les notations de la démonstration précédente,

Je «="=>. «=« ,'e

Mais la mesure de E ne surpasse pas ^ô où k est un entier suffisamment grand ; donc E peut se partager en k ensembles de mesure < S et la dernière intégrale ne supasse pas kto. Ainsi l'intégrale de/w est bornée quel que soit N, c'est-à-diie que /est sommable dans E.

Tout revient alors à montrer, comme dans la démonstration du théorème I, que l'intégrale (2), qui se décompose en deux autres :

f fdx-( f„

dx.

tend vers 0 avec i : ;/, ce qui est vrai pour la première parce que/est sommable, et pour la seconde par hypothèse (wE« tendant vers 0 avec i -.n).

Théorème V. — Soit fi, fz,... fn,..' une suite positive non décroissante de fonctions sommables dans E, ayant pour limite f ; soit ensuite cp une fonction de signe quelconque, telle seulemetit quef^ soit sommable dans E ; on aura

lim fn^dx=\