DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS

Mais je dis que l'égalité seule est possible et je vais le prouver pour P (ce qui sutfit) en montrant que P ne peut être moindre que cette limite.

, L'ensemble Ep est constitué, comme il suit :

Ep = &-\-e' — e",

d'un ensemble ê formé d'intervalles en nombre fini et de deux ensembles «' et^" de mesures infiniment petites (n» 77). Par suite, on a

( /dx = [ fdx-\- { fax— [ fdx.

Le premier membre est une somme de diff"érences de F(,ir). Dans le second, les intégrales sur e" et e' sont infiniment petites ; donc celle sur E/, différant aussi peu qu'on veut d'une somme de différences de F(;t;), ne peut être supérieure à la borne supérieure P de cette somme.

En définitive, la variation totale P + N (no 74) aura bien la valeur que nous lui avons assignée :

Je. .E„ Ja

\f\dx.

252. Variation d'une fonction dans un ensemble mesurable. Relation entre les intégrales définies et indéfinies. — Soient E un ensemble mesurable contenu dans un intervalle (a, b) et F(;i:) une fonction continue dans cet intervalle. Enfermons E (au sens étroit) dans une infinité dénombrable d'intervalles «i, ao,... a„^... n'empiétant pas (n^ 74) et désignons, en général, par A^F la différence de ¥{x) dans un intervalle a. Si la somme étendue à toutes ces différences,

2Aa„F, n

est absolument couvergente, sa valeur est la variation (algébrique) de ¥{x) dans l'ensemble des a.

Si cette variation tend vers une limite, toujours la même, quand on fait tendre la somme Sa des longueurs des intervalles vers la mesure de E, cette limite est la variation (algébrique) de F{x) dans l'ensemble E.

Théorème. — Soient f{x) une fonction sommable dans {a, b) et ¥{x) son intégrale indéfinie. Soit E un ensemble mesurable compris dans {a, b), l'intégrale de f{x) dans E est égale à la variation de ¥{x) dans E.

Enfermons E dans un ensemble d'intervalles a non empiétants, et soit CE l'ensemble complémentaire de E par rapport aux a. On a, la somme s'étendant aux a,

2 Aa F = S

[fdx= {fdx+ [fdx.

J<x Je Jce

268 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUE

Faisons tendre Sa vers wE, alors wCE tend vers 0 et la dernière intégrale disparait. Il vient ainsi

fax = lim - A^ F =var. de V{x) dansE. Je a ^

§ 2. RechercTie des fonctions primitives.

253. Fonctions primitives. — Les fonctions qui ont pour dérivée ou pour nombre dérivé une fonction donnée, sont ses fonctions primitives. La recherche des fonctions primitives se résout d'une manière élémentaire pour une fonction continue /(a;). Toutes les fonctions primitives àef{x) sont, en effet, comprises dans l'intégrale indéfinie

jyw + c,

qui est élémentaire. Mais, si on laisse de côté la condition de continuité, le problème de trouver une fonction dont la dérivée soit une fonction donnée, f{x), n'admet pas en général de solution, car toute fonction n'est pas une dérivée. Il faut donc remplacer ce problème par l'un des suivants :

jo Reconnaître si une fonction donnée est une fonction dérivée et trouver, dans ce cas, la fonction primitive.

2" Reconnaître si une fonction donnée est un nombre dérivé supérieur à droite (ou un autre nombre dérivé) et trouver, dans ce cas, la fonction primitive.

L'intégrale de Lebesgue permet de remonter, dans des cas très généraux, de la fonction dérivée à la fonction primitive et de donner, en même temps, la solution des problèmes précédents. Cependant la réponse complète ne peut s'obtenir que par une nouvelle extension de la notation d'intégrale qui est due à M. Denjoy (*). Mais celle-ci repose sur un ordre de considérations qui est étranger au cadre de cet ouvrage et nous nous bornerons à l'intégrale de Lebesgue.

Nous avons d'abord une remarque préliminaire à faire :

La dérivée ou les nombres dérivés d'une fonction continue V{x) sont des fonctions mesurables.

En eftet, la dérivée si elle existe, est la limite de la fonction continue

tandis que les nombres dérivés sont les limites d'indétermination de ce rapport et nous savons (n» 84) que ces fonctions sont mesurables.

(*) Calcul de la primitive de la fonction dérivée la plus générale. C. R. de Paris, 22 avril, 191 2.

La fonction primitive d'une dérivée bornée s'obtient simplement par le théorème de M. Lebesgue relatif au passage à la limite sous le signe J, et, quoique ce résultat rentre comme cas particulier dans les suivants, il est cependant intéressant de l'établir pour commencer.

254. Fonction primitive d'une dérivée bornée. — Soit ¥{x) une fotiction ayant une dérivée bornée f{x), on a

Çj{x)dx = ¥{b)-¥{a).

En effet, on a, par le théorème de M. Lebesgue (no 25o),

lim — ^ — — ~ —^dx= f{x)dx,

parce que le rapport sous le signe J reste borné quand h tend vers 0. Mais on peut faire la transformation

y [F(.r -\-h)- F(.v)] dx = j^ ^^ - j F(,i;) àx=\ -\ F(a-) dx

et appliquer le théorème de la moyenne à ces deux dernières intégrales. En divisant par h, passant à la Imiite et observant que F est continue, on trouve la formule de l'énoncé.

Ce théorème s'applique en remplaçant h par toute valeur x de l'intervalle {a, è) ; on a donc

F(.v) = F(a)+ [^ f{x)dx.

Donc une fonction dérivée bornée a ses intégrales indéfinies pour fonctions primitives.

Le théorème précédent permet de reconnaître si une fonction mesurable et bornée /(-r) est une dérivée. On calcule F(,r) par la formule précédente et l'on vérifie directement si F a pour dérivée/.

Si la fonction dérivée /(;i;) n'est pas bornée, le passage à la fonction primitive exige des raisonnements plus délicats. Les théorèmes fondamentaux ont été obtenus par M. Lebesgue, mais nous adopterons pour y arriver un procédé diftérent du sien, que nous avons fait connaître dans l'édition précédente de ce cours et que nous allons préciser un peu davantage dans celle-ci. Ce procédé consiste à construire, comme nous allons le faire, des fonctions auxiliaires dont les dérivées satisfont partout à certaines conditions d'inégalité.

255. Fonctions majorante et minorante. — Nous donnerons ce nom à deux fonctions qui sont respectivement approchées par excès et par défaut de l'intégrale

[y^dx

270 CHAPITRE VII. INTEGR.^XE DE LEBESGUE

et qui seront construites de manière à réaliser certaines conditions que nous allons indiquer.

Soit f{x) une fonction sommable dans l'intervalle {a, h), finie sauf peutêtre aux points d'un ensemble de mesure nulle. Nous allons construire, dans cet intervalle, une fonction continue, '-Pi(a')> infiniment voisine par excès de l'intégrale ci-dessus et dont les quatre nombres dérivés surpassait f{x) en tous les points où f{x) est finie. Nous l'appellerons la fonction majorante relative à f{x).

Nous construirons, en même temps, une fonction minorante, '^i{x), infiniment voisine par défaut de la même intégrale et dont les nombres dérivés seront tous < f{x) en tout point oii f{x) est finie.

La construction de la fonction minorante se ramène à celle de la fonction majorante, car, si — 4^ est la majorante relative à — /', alors <]> est la minorante relative à/. Il suffit donc de construire la majorante.

D'autre part, il suffît de savoir construire la majorante pour/ non négatif. En effet, définissons/N [x) comme égale kf{x) ou à — N selon que /est > ou < — N. Pour N positif infinim-ent grand, Tintégrale de/N surpasse infiniment peu celle de/ Il suffit donc de savoir construire la majorante relative à/N. Pour cela, il suffit de construire la majorante relative à/N + N qui n'est pas négatif. Soit, en effet, -i^i cette majorante, celle 'f i relative à/N sera O^i — N;i;.

Proposons-nous donc de construue la majorante relative à une fonction /(.r) non négative. Soit e un nombre positif aussi petit qu'on voudra. Donnons-nous une échelle de nombres positifs :

0, h, h,... In,...

croissant jusqu'à l'infini par degrés < e.

Désignons par Cn l'ensemble des points de l'intervalle {a, b) où l'on a

ln<f{x) <ln+i.

Désignant aussi par e,i la mesure de l'ensemble de même nom, nous aurons, par définition de l'intégrale (n» 249, V),

^ lnen< 1 fdx < S /„+i en .

«=0 Ja «=0

Par conséquent, puisque /«+i — /« est < £,

i lnHen< {' fdx^t{b-a).

«=0 Ja '

Désignons encore par Cn {x) la mesure de la portion de l'ensemble ^« comprise entre a et x. On aura, de la même manière,

S /„ e„ (x) < ^fdx < î In+i en {x) «=0 Ja «=0

et a fortiori, pour x compris dans {a, b),

^ ln+,e„{x)< (ydx-\-'o{b-a).

«=0 Ja

Donnons-nous maintenant une suite positive sj, £0,... £„,... assez rapidement décroissante pour que l'on ait

Ceci fait, enfermons e„ (au sens étroit) dans une infinité d'intervalles non empiétants (no 74) d'amplitudes 0^,0",... de manière qu'on ait

Appelons S" {x) la somme de tous les mtervalles 0" et portions d'intervalles ô« compris entre a et x. On aura a fortiori

en {x) < S« [x) < en {x) + £« .

Je dis maintenant que la fonction

« satisfait aux conditions du théorème.

On a d'abord, par les dernières inégalités,

S /„+i en [x) < çi(;i;) < s l„j^i, en {x) + ^ hi+i £«

et, a fortiori, par les précédentes

i^fdx < <^^{x) < r/rf,i; + z{b — «) + £.

Donc '^i{x) est aussi voisin qu'on veut par excès de l'intégrale. Montrons que les nombres dérivés de ^i{x) surpassent /(^r) en tout point où/(;i;) est finie.

Supposons donc que/(.r) tombe entre /„ et /«+i (exclu) ; le point x fait alors partie de l'ensemble e» et est intérieur au sens étroit à un intervalle o« ou est la limite commune de deux d'entre eux (n^ 74). Or on a

?i(-v + h) - cpi(,r) ^ Z /„+, [S« (.V + h) - S« (.v)]

Tous les termes de la somme sont positifs avec h (ou nuls) et non décroissants si h augmente. Donc, si h est positif et assez petit pour que X -\- h soit encore dans le même S« que x, on aura (en ne gardant qu'un terme)

'f ,(.l- + h) — 'f i(,T) > In+i [S« {x + h) - S" {x)] > hln+i.

Le sens de l'inégalité changerait pour h négatif, de sorte que l'on a toujours, pour | h | assez petit,

Donc les quatre nombres dérivés, étant au moins égaux à U+i, sont tous >f{x).

272 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUE

256. Remarques sur les fonctions précédentes. — i» Les fonctions majorante et minorante sont telles que les différences :

sont non décroissantes.

Il suffit évidemment de faire la preuve pour la première différence et cela dans le cas fondamental où/ est non négatif. Conservons donc les notations de la démonstration précédente.

Soit {x', x") un intervalle {x" > x'). La portion de l'ensemble ^«contenue dans cet intervalle a pour mesure en {x") — en {x'), de sorte que l'on a

^ fdx ^ i /„+! [en {x") — en {x')\.

Mais, comme on a, par définition de S" [x),

S« {x") — S" {x') > en {x") — en {x'), il vient a fortiori

{'"fdx ^ î In+i [S« {x") - S« [x')]

^ Ti {x") - ¥i(^-') et c'est ce qu'il fallait démontrer (l'intégrale étant positive).

2^ Si f{x) est bornée dans fintervalle (a, b), 'fi(A;) et oo{x) sont à nombres dérivés bornés.

Bornons-nous encore à la construction de 'fi dans le cas où /est positif, ce qui est permis. Si/ est borné, l'échelle li, I2,... peut être bornée à un nombre limité de termes. D'autre part, l'ensemble e» est enfermé dans des intervalles S« n'empiétant pas. Alors, le point x ne pouvant tomber dans l'intérieur de deux intervalles ^| de même indice n, la dérivée de S« (.r) ne peut surpasser l'unité et celle de 'fi(A-) ne peut surpasser la somme finie 24.

257. Théorème I. — S'il existe une fonction f{x) intermédiaire {au sens large) entre les deux dérivées à droite d'une fonction continue ¥{x), et si f{x) est finie et sommable dans l'intervalle (a, b), on a, dans cet intervalle,

F{x)~¥ia)= {'\f{x)dx.

nséquent, si ¥{x) a E)

¥{x) — ¥{a)= ^Adx.

Ja

fonction /(.t;), les liment voisines et

?iW> {"" f{x)dx>^.^x).

Ja

En particulier, par conséquent, si ¥{x) a un nombre dérivé fini et sommable A, on a (Lebesgue)

Construisons, pour la fonction /(.t;), les deux fonctions majorante et minorante 'f 1 et 'fo, infiniment voisines et telles que l'on ait

Les nombres dérivés de o^ sont tous > /, ceux de 'fo sont tous </ (supposée finie) ; par conséquent, les deux fonctions

cp.(,t-)-FW, F(,r)-'f,(-v'),

sont à nombre dérivés partout positifs et sont, conséquemment, croissantes dans {a, b). Donc, 'fi et 'f. s'annulant par construction au point a, il vient

Oi(.v)>F(,r)-F(«)>'f,(.r);

enfin, par comparaison avec les inégalités précédentes et en rappelant que les fonctions cfi et '^-j, sont infiniment voisines,

F(.v)-F(a)= rVw^.r.

2 5 8. Théorème IT. — V intégrale indéfinie iV une fonction f [x) mesurable et BORNÉE (*) dans un intervalle {a, b), a f{x) pour dérivée presque partout.

Nous convenons de dire, avec M. Lebesgue, qu'une propriété a lieu presque l'ARTOUT si elle a lieu sauf dans un ensemble de mesure nulle.

Reprenons les fonctions, majorante 'fi, et minorante «f,, de la démonstration précédente. Elles sont à nombres dérivés bornés puisque f{x) est bornée (n» 256).

Soient Ai et Aj les nombres dérivés supérieurs à droite de tpi et de «P:- ; on a (n" 255)

Al >/> A,.

Soit A le nombre dérivé supérieur à droite de l'intégrale indéfinie 1 fdx. Celle-ci ne peut croître ni plus vite que 'f i ni moins vite que ^■> (no 256). On a donc aussi

Al > K> h>.

Si l'on compare ces inégalités aux précédentes, il vient

I A— /l < Al— Ai ; d'où, en intégrant puis appliquant le théorème précédent, ce qui est permis (puisque Ai et A- sont bornés),

\ —f I dx < \ Aidx- \ A; dx ^ 'fi{b) — 'f ,(è).

Cette dernière différence peut être supposée aussi petite qu'on veut ; par conséquent,

I 1 A— /l dx =0

(*) Cette restriction disparaîtra au théorème IV (n" 260).

274 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUE

et A ^/presque partout. Donc chacun des quatre nombres déi-ivés de l'intégrale de/ est égale à / presque partout. Ils le sont donc aussi simultanément presque partout, ce qui prouve la proposition.

259. Théorème III. — Si la fonction continue ¥{x) est non décroissante dans nu intervalle [a, b), l'un quelconque A de ses nombres dérivés est sommablc dans cet intervalle et l'on a

{\dxC¥{h)-¥{a).

Ja

Définissons Aw comme égal à A ou à « selon que A (qui est nécessairement > 0) ne surpasse pas le nombre positif n ou le surpasse. Formons l'intégrale indéfinie

^n {X) = Andx

et construisons la fonction minorante 'Jft{x) relative à cette intégrale et dont tous les nombres dérivés sont, par conséquent, < An et a fortiori < A. Cette dernière conséquence entraîne, puisque '^zia) est nul,

F(è)-F(a)>cp,(è) et, en faisant tendre o^ vers sa limite <I>,j,

Y {h) - F (a) > a'„ [b) = C A. dx.

ma

Faisons main'enant tendre n vers l'infini ; cette dernière intégrale, étant bornée par le premier membre, tend vers une limite finie. Celleci est, par définition, l'intégrale de A, donc A est sommable. De plus, on obtient à la limite l'inégalité qu'il fallait démontrer.

260. Théorème IV. — L'intégrale indéfinie d'une fonction sommable, bornée ou non, admet cette fonction pour dérivée presque partout CLebescue).

Une fonction sommable est la diôerence de deux fonctions sommables non négatives (n" 248). Il suffit donc de prouver le théorème pour une fonction non négative.

Soit A le nombre dérivé supérieur à droite de

Fix)^rf{x)dA

Jà

Définissons une fonction fn égale à / ou à ;/ selon que / est <;; n ou > ;/. Le nombre dérivé supérieur à droite de l'intégrale (moins rapidement croissante que F)

[''fndx,

sera ::^ A , mais il est égal k fn presque partout (11° 258). Par suite, on a presque partout A >/«, donc > /, puisque ;/ est quelconque ; c'està-dire que l'on a presque partout

Ceci posé, on a, par le théorème III précédent (F étant non décroissant),

^ Adx^ ¥{b) - ¥{a) --= {'f{x) dx;

d'où l'on tire, en utilisant l'égalité précédente qui a lieu presque partout,

{' (A -/) dx = r I A - / I dx <C 0.

Ja Ja

Donc A ^/presque partout. La même chose a lieu pour les autres nombres dérivés, ce qui prouve le théorème.

Corollaire. — Comme, dans le calcul d'une intégrale, on peut négliger l'ensemble de mesure nulle où elle n'a pas pour dérivée la fonction sous signe f,on peut énoncer le théorème su!vant(LEBESGUE).

Une intégrale indéfinie est l'intégrale indéfinie de sa dérivée considérée seulement aux points où elle existe (ou supposée nulle aux autres points).

261. Théorème V. — Une fonction continue et à variation bornée dans un intervalle, a une dérivée dans presque tout l'intervalle et cette dérivée est sommable considérée là où elle existe (Lebesgue).

Une fonction semblable est la diâérence de deux fonctions continues non décroissantes (n" 88). Le théorème, vrai pour ces deux-ci, le sera pour leur différence. 11 suffit donc de le démontrer pour une fonction F{x) continue et non décroissante.

Soit Aj,. un des nombres dérivés de Fix) ; on a, pour h positif, par le théorème III,

Apdx<,¥{x + h)-F{x).

Ja-

Donc la fonction

'f{x)^¥{x)-rApdx

est non décroissante ; et il en sera de même pour la fonction 'K-i'), construite avec 'f comme 'f l'est avec F, à savoir

<^{x) = (f{x) — I A^dx.

Il vient, par l'addition de ces deux équations,

r{A,- + A.^)dx=¥{x)-'Kx).

Cette nouvelle équation met en évidence que l'intégrale du premier membre ne croît pas plus rapidement que ¥{x) et que, par conséquent, son nombre dérivé (de l'espèce A) ne surpasse pas Ap . Mais ce nombre est Ap + Acp presque partout (Théorème IV), donc Acp = 0 presque partout. D'ailleurs, A désignant un nombre dérivé d'espèce quelconque, on en conclut que o a une dérivée nulle presque partout ; d'où il suit enfin que la fonction

F(;0 = o(.v) + I '\p dx .a •

a presque partout la même dérivée que Jaf^^; c'est-à-dire A^^ (Théorème IV) et cette dérivée est sommable.

Corollaire. — Une fonction ¥{x), continue et à variation bornée, dont un nombre dérivé A est fini dans un intervalle, est l'intégrale indéfinie de ce nombre dérivé (Lebesgue).

On applique le théorème I (no 257), après avoir remarqué que A est sommable, car il est égal presque partout à la dérivée V{x) qu'on vient de prouver sommable.

262. Construction d'une fonction auxiliaire à dérivée finie. — Soit Y{x) une fonction continue à variation bornée dans un intervalle {a, b), ayant donc (no 261) une dérivée finie ¥'{x) sauf dans un ensemble E de mesure nulle. Enfermons E (au sens étroit pour tous les points sauf peut-être a et b) dans une infinité d'intervalles a, non empiétants, contenus dans {a, b) et de somme S7 inférieure à un nombre positif e donné.

Ceci fait, définissons une fonction continue ¥\{x), voisine de ¥{x), par les deux conditions suivantes : 1° Hors des intervalles a et aux extrémités, Fi(.r) = ¥{x) ; 2° dans l'intérieur des a, ¥i{x) varie linéairement de manière à coïncider avec ¥{x) aux extrémités.

Cette fonction Fi jouit des propriétés suivantes :

Elle est continue et à variation bornée (car sa variation totale ne peut surpasser celle de ¥), elle a des dérivées à droite et à gauche finies dans {a, b), mais, en dehors des intervalles ce, elle a une dérivée unique ¥'{x).

Faisons la démonstration en considérant la dérivée à droite seulement. Si X est à l'intérieur (au sens étroit) ou à l'extrémité gauche d'un intervalle a, Fj varie linéairement et a une dérivée à droite finie.

Dans le cas contraire, x, supposé difterent de b, n'est pas un point de E. Sa dérivée à droite sera ¥\x). En effet, formons les deux quotients :

¥{x + h)-¥{x) Fi(-r + /0-Fx(^)

où // tend vers 0 et dont le premier tend vers F'(.i-) par hypothèse. Le second est égal au premier si x + h tombe hors des a ; et, si ;i^ + h

tombe dans un a, il est intermédiaire entre les deux .valeurs du premier aux extrémités de cet a, valeurs qui ont encore toutes deux pour limite F'(.r). Donc le second quotient a pour limite F'(;i').

263. Théorème VI. — Si F{x) est continue et à variation bornée dans {a, b), on a

V{b)-V{a)== rV'(.v)r/,r + V,

l'intégrale s'étendant aux points oti, F' est finie et déterminée, et V désignant la variation de F dans Vensemble E des points où F' ^5^ indéterminée ou infinie.

Construisons, comme au no précédent, la fonction a dérivée finie Fi(Ar) voisine de ¥{x) ; nous aurons, par le corollaire du théorème V,

Désignons par Ca l'ensemble complémentaire des intervalles a par rapport à [a, b), ensemble dans lequel F^ = F'. Comme, d'autre part, Fi et F coïncident aux points a et b, l'équation précédente peut s'écrire (la sommation s'étendant aux a)

F(è)-F(«)= f F'(^-)rf-r+S {¥'ix)dx.

Mais, F et Fi coïncidants aux extrémités des a, nous avons encore, par le théorème V,

{¥[{x)dx=^\rj,V, = y^¥ Jx

et l'équation précédente devient

¥{b) — F(rt) - f F'{x) dx + ly^ F. Jeu.

Faisons tendre Sa vers 0 ; l'intégrale dans Cx tend (no 249, I) vers celle dans (a, b), puisque l'ensemble exclu est de mesure infiniment petite et que cette intégrale existe {no 261). Donc la dernière somme tend aussi vers une limite, toujours la même, qui sera la variation V de F dans E, et la dernière équation fournit celle du théorème énoncé par un passage à la limite.

264. Théorème VII. — Les hypothèses sur F subsistant, la variation V du théorème précédent est la même que celle de F dans l'ensemble Ei {contenu dans E) des points oit, l'un {toujours le même). A, des nombres dérivés de F est infini.

Nous allons, en effet, retrouver la formule du théorème précédent en donnant ce nouveau sens à V.

Formons les deux fonctions majorante et minorante, Oi et cpo. infiniment voisines de I Adx et faisons une remarque préliminaire. La fonction :

F{x) - o ,(;»;) = F - f^^A dx + \ (""^A dx - tp^ 1

est à variation bornée dans [a, b), et la somme de ses différences ou bien do ses variations totales, respectivement dans des intervalles xi, ao,... de somme Sa, est, pour Sa infiniment petit, infiniment voisine de la somme analogue pour la fonction F(,r). En effet, considérons la décomposition précédente ; la somme des variations totales de ^ A dx qui est absolument continue (n" 25i) est infiniment petite avec Sa, et la même chose a lieu pour j A dx — ç^, parce que cette fonction est monotone {n° 256) et infiniment petite.

Ceci posé, enfermons Ei dans ai, ao,... n'empiétant pas. Soit Vn{x} la somme des différences de F — o., dans ceux des n premiers intervalles aj, ao,... Un qui tombent entre a et x et éventuellement dans la portion d'un de ces intervalles encore comprise entre a et x. Soit Tn (x) la somme des variations totales de la même fonction dans les a restants ou portion d'un de ces a, toujours entre a et x. F'ormons la fonction

F(^) - o,(x) — Vn (;*;) + T„ {x).

Je dis qu'elle est non décroissante. Elle l'est, en effet, dans les n intervalles ai, a^,... a^j où elle se réduit à Tn qui ne décroît jamais. Elle l'est encore dans les intervalles complémentaires des n précédents, où elle se réduit à

Y{x)-Ux) + Tn{x),

parce que son nombre dérivé (de même espèce que A) y est partout ^ 0. 11 l'est, en effet, dans chacun des a restants, où la fonction est non décroissante, puisque T» croît alors comme la variation totale de F — ?2 ; il l'est encore en chaque point hors de ces a, puisque A (étant alors fini) surpasse tous les nombres dérivés de '-f o et que Tn n'a jamais les siens négatifs.

La fonction considérée étant non décroissante dans {a, b), nous avons, dans cet intervalle,

F(;^) - F(a) > '^,{x) -f Vn {x) - T» {x).

Faisons tendre n vers l'infini, puis Sa vers 0 ; Tn a pour limite 0 et, suivant la remarque préliminaire, Vu pour limite la variation W{x) de F(.v) dans la portion de Ei entre a et x. Remplaçons encore 'f o par sa limite, nous trouvons

F(.r) - F(a) > I 'a dx + V{x,

Mais l'égalité seule est possible, car on trouve des inégalités de sens contraire en remplaçant cp, par tpi et T» par — Tu . Il vient donc pour X = b,Y étant maintenant la variation de F dans Ki,

F(è)-F(fl) = f'Ar/,r+V,

ce qui montre que V est bien le même que dans le théorème précédent (car A = F' presque partout).

265. Théorème VIII. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction ¥{x) soit l'intégrale indéfinie d'une fonction sommable dans {a, b), est quelle soit absolument continue dans cet intervalle. Elle est alors l'intégrale indéfinie de sa dérivée considérée là où elle existe.

En efïet, si F est absolument continue, F, étant à variation bornée, a presque partout une dérivée /(.r) et l'on a

F{x) = F{a)- |*/(.r)rf;v + V,

où V est la variation de F(.r) dans l'ensemble de mesure nulle où sa dérivée n'est pas finie et déterminée (no 263). Mais, cette variation étant nulle parce que F est absolument continue, le terme V disparaît. Donc F est une intégrale indéfinie. Réciproquement, nous avons vu (no 25i) qu'une intégrale indéfinie est absolument continue.

Ce théorème entraîne les corollaires suivants :

Corollaire I. — Une fonction absolument continue dont la dérivée est nulle presque partout dans un intervalle, se réduit à une constante.

Corollaire II. — Deux fonctions absolument continues qui ont la même dérivée presque partout dans un intervalle, ne diffèrent que par une constante daiis cet intervalle.

Ce théorème permet d'étendre immédiatement la règle d'intégration par parties à l'intégrale de Lebesgue.

266. Intégration par parties. — Soient 'f(,r) et 'l{x) deux fonctions absolument continues dans un intervalle {a, b), on a, dans cet intervalle,

{\{x) '^\x) dx = ^{x) 'b {x)Y~ ^y{x) o\x) dx,

les dérivées 'f' et 'V étant considérées aux seuls points où elles existent.

En effet, si 'f et -l sont absolument continues, leur produit 'fi l'est aussi (*) et, par conséquent, les deux membres de l'équation précé-

(*) En efïet, si cp et <h sont de valeurs absolues < M, la variation de cpi ne surpasse pas en valeur absolue le produit par M de la somme des variations absolues de 'f et de -]/.

28o CHAPITRE VII. INTÉGRALE DE LEBESGUÉ

dente ont la même dérivée presque partout. Ils ne diffèrent donc que par une constante et cette constante est nulle, puisque les deux membres s'annulent pour x = a.

La règle d'intégration par substitution admet une généralisation aussi étendue que la précédente mais moins immédiate. Nous lui consacrerons un paragraphe spécial, où ce résultat sera établi, pensonsnous, pour la première fois.

§ 3. Intégration par substitution.

267. Remarques préliminaires. — Soit /(;»;) une fonction sommable dans une intervalle (a, Z»). Soit ensuite ;i^ = cp(^) une fonction absolument continue de t, qui varie de x^, = -f (/q) à X = 'f (T), sans sortir de l'intervalle [a, h), quand t varie de /„ à T. Posons, dans ces intervalles,

Ces fonctions jouissent des propriétés suivantes :

I" La fonction <î>(^) est absolument continue. En effet, si l'on considère une infinité dénombrable de différences de t dont la somme des valeurs absolues tend vers 0, la somme des valeurs absolues des différences correspondantes de ;t; ^ '^{t) tend vers 0 (puisque «f est absolument continue), donc la somme des valeurs absolues des différences correspondantes de F(cp) tend aussi vers 0 (puisque Yx est aussi absolument continue). Il suit donc de là, d'une manière générale, (\\x\ine fonction absolument continue de fonction absolument continue est absolument continue.

2" La fonction ^^(1), étant absolument continue, a, presque partout, une dérivée $'(/). Celle-ci est sommable quand on la considère là où elle existe et l'on a (no 265)

ci)(/)=. {%>{t)dt.

3" En tout point oii <P'{t) et --^'{t) existent et oii 'f'(i') est fini et différent de 0, F'('f) existe aussi et Von a

cD'(0 - F'(o) iif).

Dans la démonstration, supposons, pour fixer les idées, o'(^) positif. Alors les différences correspondantes A^ et Aci tendent vers 0 en restant de même signe, et Acp passe par toutes les valeurs intermédiaires en même temps que A^, c'est-à-dire que A'i; tend arbitrairement vers 0 avec A^. Considérons le quotient

A(I) AF(^ A^ 37~ A'^ At'

Quand A^ tend vers n, A(p : It et A-^ : A/ ont des limites, la seconde