INTÉGRATION PAR SUBSTITUTION

finie et différente de 0. Il s'ensuit que le troisième rapport -^F : âcp tend aussi vers une limite déterminée (finie ou infinie), donc que la dérivée ¥'{f) existe et est égale au quotient des deux autres limites <I>'(^) et f'{t), ce qui revient à la relation écrite plus haut.

4" Si /{x) est bornée dans {a, b), ^'[t) s annale en même temps que '^'{t).

C'est ce qui résulte de l'application du théorème de la moyenne à l'intégrale

àd) = r f{x)d.r.

5" Si f{x) est bornée, on a (voir 2")

i^{t)= rV(^)rf/= {'¥\<^)'i^\t)dt,

l'intégrale s'étendant à tous les points où ^'{t) existe et à condition de remplacer F'(<f) P^f "" nombre fixe, par exemple i, aux points où cette dernière dérivée n'existerait pas.

En effet, avec cette convention, on a presque partout, en vertu du 3° si ^'{t) n'est pas nul et du 4.° si cp'(0 est nul,

ni) = F'('f) 9'it)-

Si l'on désigne par a l'intervalle d'intégration et par Aafl'(/) la diftérence de ^P dans a, on aura donc, avec la même convention,

y,^it)=(F'ir.)<f'{t)dt,

résultat que nous utiliserons tout à l'heure.

268. Théorème. — Soit «p(0 une fonction absolument continue dans tm intervalle {to, T). Faisons parcourir à t, entre ces limites, un ensemble E/ de mesure non nulle ; si le point x = cp(^) varie alors dans un ensemble 'Ex de mesure nulle, la dérivée (f'(t) sera nulle presque partout dans E/.

Soit/(;»;) une fonction égale à i dans E.v et à 0 en dehors. Il suffit de prouver la formule

r/(?)l?'W|rf^-n; 'Al

car, puisque/(;i;) est égale à i dans E/ et à 0 ailleurs, cette formule revient à suivante :

I \'^'{t)\dt=i).

qui entraîne le théorème énoncé. Proposons-nous donc de démontrer cette formule.

Soit £ un nombre positif arbitraire. Donnons-nous une suite illimitée positive

Ensuite à chaque terme £« de cette suite, faisons correspondre une fonction Fuix), non négative et < £« , définie comme il suit :

Puisque Kx est de mesure nulle, nous pouvons l'enfermer (au sens étroit) dans une infinité dénombrable d'intervalles n'empiétant pas et dont la somme des longueurs est < e». Cela fait, F7i{x) sera, par définition, la somme des longueurs des intervalles et (éventuellement) portion des intervalles précédents qui sont à gauche du point;»;. D'après cela, Fn{x) est bien une fonction non négative et < zn. Elle est non décroissante, absolument continue, à nombres dérivés compris entre 0 et i (non exclus) et elle a/(,r) = i pour dérivée dans Er, c'està-dire partout oi\/{x} n'est pas nul.

Soit P l'ensemble des points de (^0, T) où '^'{1) est > 0, N celui où ^'{t) est < 0. L'équation à démontrer revient évidemment aux deux suivantes :

\/{^)\f'ii)\dt=0, /(cf) |cp'(OI^/=0.

Comme elles se démontrent de la même façon, il suffit de prouver la première.

A cet efiet, enfermons l'ensemble P dans une infinité dénombrable d'intervalles aj, a,... an,... n'empiétant pas et dont la somme 2a soit suffisamment voisine de wP pour que l'on ait, dans l'ensemble CP complémentaire de P par rapport aux a,

ce qui est possible puisque tf' est sommable (n'' 265). Posons 'i>«(0==F.[^(/)];

et formons la somme des difterences de (Pi dans a,, de <!>;. dans «j, etc., c'est-à-dire

Ces différences sont respectivement de valeur absolue inférieure à £1, à £2v à tn,.-. (puisque leurs deux termes sont de mêmes signes et moindres que ces limites), donc on a

S Aa(D„(i)l<£i+£, + ...<£.

Désignons maintenant par F'(^), non une véritable dérivée, mais une fonction égale à Fi(«p) dans c-i, à F2(f) dans a^ et, en général, à F,j(cf) dans »„ quand ces dérivées existent, et à i dans le cas contraire. Comme les F^, cette fonction sera comprise entre 0 et i (non exclus) et égale à/ (cp) partout où/ (<f) n'est pas nul. On aura, en utilisant la remarque 5" du no 267,

-{ F'(/)cf'(^)^^;

INTEGRATION PAR SUBSTITUTION 283

et l'inégalité précédente peut s'écrire

? f F'{t)<f'{t)dt\ <£.

Mais, en réduisant le premier membre à l'intégrale suivante qui est à éléments positifs (ou nuls)

j^F'{t)rf'{t)dt,

on commet une erreur de valeur absolue moindre que

f I ?'(^) \dt<z, Jcp

car ¥'{t) ne peut surpasser l'unité. Il vient donc

f F'{t) f'{t} dû < 2£.

Jp

Donc la mesure de l'ensemble des points de P où la fonction positive

ni) ?v)

surpasse un nombre positif w, est < s : w ; et cela est vrai a fortiori pour la mesure (extérieure) de l'ensemble des points de P où la fonction

fW 'f'{t)

surpasse w, car /(cp) est nul ou égal à F'(/). Donc, e étant arbitraire, ce nouvel ensemble est de mesure nulle quel que soit w, et l'on a

269. Règle d'intégration par substitution. — Soii f{x) tme fonction finie et sommable dans l'intervalle [a, b) ; ensuite x =^ cp(^) une fonction de t absolument continue et qui varie de x^ = cû(^o) à X = ¥(T), sans sortir de l'intervalle {a, b), quand t varie de Iq à T, on aura

\'f{x)dx^ Çf(^)^\t)dt,

l'intégrale s' étendant seulement aux points oii <f' existe, c'est-à-dire presque tous. Posons

F{x) - {""fix) dx, ip{t) = F[cp(0].

Supposons d'abord /(;ir) bornée dans {a, b). Alors on a, par la remarque 5" du n" 267,

^m- ǥ'{^)'f'{t)dt,

eu remplaçant F'(<f) par i aux points où F' n'existerait pas. Je dis, ce qui prouvera la proposition, que l'on peut remplacer dans cette intégrale F'(<f) par/(^).

284 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGtfE

On sait, en effet, que ¥'{x) ne diffère def{x) que dans un ensemble E:r de mesure nulle. Soit E/ l'ensemble ^s points t pour lesquels x = 'f(if) appartient à 'Ex. Si E/ est de mesure nulle, la substitution de /à F' ne modifie pas l'intégrale. Elle ne la modifie pas non plus si E^ n'est pas de mesure nulle, car alors, en vertu du théorème précédent, o'{t) est nul presque partout dans E/, et la quantité à intégrer n'est encore modifiée par cette substitution que dans un ensemble de mesure nulle.

Considérons, en second lieu, le cas oiif(x) n'est pas bornée. D'ailleurs,/étant toujours la différence de deux fonctions non négatives, nous pouvons raisonner sur une fonction /positive.

Soiif7i{x) une fonction bornée auxiliaire, égale à/Çr) si/:<; n et à n si/ > n. Pour celle-ci, on a, sans difficulté par la démonstration précédente,

dt.

Je dis qu'on obtient la formule à démontrer, par un passage à la limite, en faisant tendre n vers l'infini. En effet, l'intégrale de/» {x) tend vers celle de/(,-ir) supposé sommable, et l'intégrale de /z('f) «p'(0 vers celle de/(cp) cp(^), pourvu que cette fonction soit sommable (n'' 25o, V) et c'est ce qu'il est facile de vérifier.

En eftet, dans l'ensemble où '^\t) n'est pas nul, on a presque par tout (no 267, 30)

$'(0 = F'Cf ) ?'(0, et, par suite, aussi

puisque F'(cp) se confond avec/(cp) pour presque tous les «p, donc ausspour presque tous les t n'annulant pas tp' (Théorème précédent).

D'autre part, dans l'ensemble où tf' est nul, on a, puisque /est fini et le second membre nul,

|^'(^)1>I/(?)tWI .

En définitive, cette inégalité a lieu presque partout, puisqu'elle est encore exacte dans le cas pi-écédent. On en conclut que, son premier membre étant sommable, le second l'est à fortiori.

Remarque. S\f{x) toujours sommable, n'était pas finie-, mais devenait infinie dans un ensemble de mesure nulle, la démonstration précédente prouverait seulement que l'on a (/étant positif)

1 f{x) dx = C lim/„ ('f ) i{t) dt.

La formule d'intégration par substitution subsistera donc encore, à condition de considérer le produit /(») ^\t) comme s'annulant avec ^\t) même aux points où/(<f) serait infini. Cette circonstance peut évidemment se présenter dans un ensemble de mesure non nulle.

§ 4. Théorèmes sur la dérivée seconde généralisée. Recherche de sa fonction primitive (*).

270. Dérivée seconde généralisée. — Soit ¥{x) une fonction continue. Posons

Quand h tend vers 0, le quotient A- F : //- a une plus grande et une plus petite limites (finies ou infinies). Nous les appellerons les dérivées secondes généralisées supérieure et inférieure de F(.t') au point x. Si elles sont égales, leur valeur commune est la dérivée seconde généralisée de F(,r) en ce point et cette dérivée est alors unique.

L'existence d'une dérivée seconde généralisée unique n'entraîne pas celle de la dérivée seconde au sens ordinaire. Par contre, la dérivée seconde généralisée est unique et coïncide avec la dérivée seconde ordinaire en tout point oii celle-ci existe. C'est là un cas particulier du théorème suivant:

Théorème. — Si V{x) admet au point x une dérivée première F'(.r) contimue en ce point, les dérivées secondes généralisées supérieure et inférieure sont intermédiaires eutre les quatre nombres dérivés du premier ordre de ¥\x) au même point.

Ecrivons, en efiet, A2F

{^\Y\x^-t)-¥\x-t)]dt,

A^F r^ 2tdtV¥\x-^t)-¥\x — t)-

Quand h, et / avec lui, tendent vers 0, le crochet dans la dernière intégrale a pour limites d'indétermination des moyennes entre les nombres dérivés à droite ou à gauche de F'(.i') au point;!?. Le théorème énoncé résulte donc de l'application du théorème de la moj^enne à cette intégrale.

Nous allons établir maintenant sur les dérivées secondes généralisées quelques théorèmes fondamentaux, analogues à ceux que nous avons exposés au chapitre 1^1" sur les nombres dérivés du premier ordre, et sur lesquels nous nous appuierons pour déterminer la fonction primitive.

271. Théorème I. — Si une fonction ¥{x) possède une dérivée seconde généralisée supérieure positive (donc non nulle) en tout point intérieur à l'intervalle {a, h), alors, dans cet intervalle, tout arc de la courbe y = ¥{x) est situé au-dessous de sa corde. Au contraire, il serait au-dessus, si la dérivée seconde inférieure était négative.

(*) Sur l'Unicité du développement trigouométrique, par Ch-J. de la Vallée Poussin, Bulletin de l'Académie royale de Belgique (Classe des Science), 1912.

Il suffit de démontrer la première partie de l'énoncé qui suppose la dérivée seconde généralisée supérieure positive. Soient 'AAIB un arc quelconque de la courbe et A B sa corde. Supposons, par impossible, que cet arc soit en totalité ou en partie au-dessus de AB. La courbe étant continue, il existe au moins un point de la courbe au-dessus de AB tel que sa distance à- AB soit la plus grande possible, mais il peut y en avon^ plusieurs.

Soit M celui de ces points dont l'abcisse x est la plus grande possible ; soient M' et M" deux autres points de la courbe d'abscisses X ~ h ei X -\- h. Désignons par oj un nombre positif plus petit que la dérivée seconde généralisée supérieure au point x et prenons, ce qui est alors possible, h positif assez petit pour satisfaire à la condition

—. — = ' > Mil > 0.

Cette inégalité exprime que le coefficient angulaire de MM" est plus grand que celui de M' M ou que l'angle M'MM" a son sommet tourné vers le bas, c'est-à-dire vers la corde AB. Or ceci est impossible, car, en ce cas, un au moins des deux côtés de cet angle, MM' ou MM", serait au-dessus de la parallèle menée par M à AB et l'un des deux points M' ou M" serait plus loin que M de AB.

272. Théorème II. — Soit F(a.') une fonction continue dans un intervalle. Si Ton peut, sans sortir de cet intervalle, inscrire dans la courbe y = F{x) une corde AB située en totalité ou en partie au-dessous (au-dessus) de l'arc sous-tendu AMB, l'ensemble E des points où la dérivée seconde généralisée supérieure (inférieure) de F{x) est négative (positive), ne peut être de mesure nulle, à moins que cette dérivée généralisée ne soit infinie négative (positive) en un point au moiîis à l'intérieur de l'intervalle considéré.

Supposons E de mesure nulle ou même, par impossible, inexistant ; nous allons montrer que la dérivée seconde généralisée supérieure sera infinie négative, au moins en un point, si l'arc AMB passe au-dessus de sa corde.

Construisons, comme dans la remarque du n^ 14, une fonction 'j'{x) infinement petite, continue, non décroissante et douée d'une dérivée première infinie positive en tout point de E (supposé existant). Alors la fonction, infiniment petite aussi,

r^ix) dx

possède une dérivée seconde infinie positive en tout point de E ; et d'ailleurs ses dérivées secondes généralisées ne sont négatives nulle part.

Donnons-nous maintenant une constante positive z infiniment petite et construisons la courbe, infiniment voisine dej'= ¥{x),

J = F(;i-)+r?Wr/.r +

Si, par impossible, E était inexistant, on supprimerait cette intégrale.

Cette courbe possède un arc infiniment voisin de AMB, donc, comme lui, en totalité ou en partie au-dessus de sa corde. Il en résulte que la dérivée seconde généralisée supérieure de la fonction

ne peut être positive pour tous les points intérieurs à l'intervalle considéré, en vertu du théorème précédent. Mais elle ne peut cesser de l'être que dans E, et encore à condition que F ait sa dérivée seconde généralisée infinie, ce qui prouve l'existence de E et le théorème.

On déduit de là le théorème suivant, qui fait connaître dans quelle mesure une fonction est déterminée par une de ses dérivées secondes généralisées.

273. Théorème III. — Deux fonctions continues, Fi(.tr) et Fal^i;), dont les dérivées secondes généralisées supérieures sont : 1° finies dans tout l'intervalle {a, b) et 2» égales, sauf peut-être dans un ensemble E de mesure nulle, ne PeuvenT différer que par une fonction linéaire dans cet intervalle.

Une dérivée seconde généralisée supérieure étant une plus grande limite, celle d'une différence vaut au moins la différence de celles de chaque terme. Il suit de là que les deux fonctions :

F,(,v)-F,(,r), F,(.r)-Fi(-r),

ont leurs dérivées secondes généralisées supérieures non négatives sauf dansE, donc partout, car les points de E ne peuvent faire exception en vertu du théorème précédent. Dans ce cas, en vertu du théorème I (no 271), aucune des deux courbes :

y = Fi(;v') - F,{x), y = F.W - Fi(.r),

ne peut passer au-dessus d'une de ses cordes et, comme elles sont symétriques par rapport à l'axe des x, elles doivent se confondre avec leurs cordes. Ce sont donc des droites et (Fi — Fo) est une fonction linéaire.

Corollaire. (Théorème géjsiéralisé de Schw^arz). — Une fonction continue dont la dérivée seconde généralisée supérieure (inférieure) est finie partout et nulle presque partout dans un intervalle, est une fonction linéaire.

274. Condition (K). — Pour aller au delà des résultats précédents, il faut assigner à F(,v) une condition nouvelle, tenant la place de celle de continuité pour le théorème de Scheeffer (n^ 116). Nous l'appellerons la condition (K) et cette condition se vérifiera en particulier partout où F{x) aura une dérivée première unique et finie.

Nous dirons donc que la fonction continue ¥(x) satisfait à la condition (K) en un point x, si l'on peut définir deux nombres positifs infini-

ment petits correspondants, /; et ^, rendant infiniment petite la difïérence

Nous dirons que cette condition a lieu dans un ensemble E ou à l'intérieur d'un intervalle, si elle a lieu en tout point appartenant à l'ensemble ou intérieur à l'intervalle.

Remarque. — Il peut être utile d'observer que, si l'on prend k = h, la différence ci-dessus est égale au produit

Or on peut faire tendre // vers 0 de manière que A2F : h- tende vers n'importe quelle valeur assignée intermédiaire entre les deux dérivées secondes généralisées de ¥{x). On en conclut que les seuls points où la condition (K) puisse tomber en défaut sont ceux oii la dérivée seconde généralisée de Y{x) est unique et infinie.

275. Théo'èine IV. — Soit ¥{x) une fonction continue dans un intervalle {a, b). Supposons qu'il existe, dans cet intervalle, un arc de la courbe y^ ¥{x) passant au-dessus (au-dessous) de sa corde. On sait (Théorème II) qu'il existe, dans ce cas, un point au moins dans l'intérieur de {a, b) où la dérivée seconde généralisée supérieure de ¥{x) est négative (positive). Soit E l'ensemble de tous les points semblables dans l'intérieur de [a, b). Si ¥{x) satisfait à la condition (K) dans E, cet ensemble E a, dans tous les cas, la puissance du continu et contient un ensemble parfait, car :

1° Si E n'est pas de mesure nulle, il contient un ensemble parfait de mesure non nulle (*).

2° Si E est de mesure nulle, la portion de E où ¥(x) a une dérivée seconde généralisée unique et infinie négative (positive), a déjà la puissance du continu et contient un ensemble parfait.

Il suffit de prouver le 2° et d'en faire la démonstration dans rh3'pothèse où l'arc passe au-dessus de la corde.

A cet effet, revenons à la courbe, infiniment voisine dej = F(.v), déjà considérée dans la démonstration du théorème II,

Ja 2

(*) C'est là une proposition s'énérale sur les ensembles, facile à vérifier. Soit l'ensemble E contenu dans [a, h) et de mesure 2£. Enfermons son complémentaire par rapport à {a, h) dans des intervalles a de manière cjue i^a soit < (ô — rt) — £ ; l'ensemble des points de (a, b) non intérieurs aux a est parfait, de mesure e et contenu dans E.

et pour laquelle il existe aussi un arc AMB situé au-dessus de sa corde AB. Posons

Fi(.r) = F(;.)+ ('''f{x)dx + B^.

La fonction Fi a sa dérivée seconde généralisée supérieure positive et > £ en tout point où celle de F(,r) n'est pas infinie négative. Donc celle-ci doit être infinie négative en tout point où l'on a A^Fi <; 0 pour // infiniment petit, et nous allons d'abord montrer que l'ensemble Ei de ces points a la puissance du continu.

Soit, au-dessus de AB, M le point de l'arc AMB dont la distance à AB est la plus grande possible et qui a la plus grande abscisse. Nous aurons en ce point, pour h infiniment petit,

A2Fi<C0,

de sorte que M est un point de Ei (donc de E) et la condition (K) y est vérifiée poui; F (et, par conséquent, aussi pour Fi). Menons à AB par le point M la parallèle MT ; ce sera la tangente à la courbe AMB au point M, en convenant d'appeler ici (par extension) tangente une droite qui passé par M sans traverser la courbe ; et il ne peut pas y en avoir deux, car elles enfermeraient la courbe dans un angle, ce qui est contraire à la condition (K). Cette tangente sera d'ailleurs tout entière au-dessus de l'arc AMB.

Soit maintenant AB' une seconde corde^ obtenue en faisant tourner la première dans le sens direct autour du point A, d'ailleurs suffisamment voisine de la première pour qu'il reste encore des points de l'arc au-dessus de AB'. Soit M' celui de ces points qui est à la distance la plus grande de AB' et qui a la plus grande abscisse ; au point M' la tangente sera parallèle à AB' et l'on aura, pour h infiniment petit, â2Fi^0.

A chaque corde AB" intermédiaire entre AB et AB', correspond ainsi un point M" diftérent (la tangente y étant différente) où A-Fi ïî^ 0. Donc l'ensemble Ei des points où cette condition a lieu, a, comme nous l'avons annoncé, la puissance du continu.

Nous allons montrer maintenant qu'il contient un ensemble parfait.

Commençons par une remarque préalable. Le point M' que nous avons construit est à gauche du point M, car M, étant plus éloigné de AB que les points de la courbe situés à sa droite, est aussi plus éloigné qu'eux de la droite AB'. Cette remarque s'applique pour deux cordes quelconques. Soit donc 0 l'inclinaison d'une corde variable AB", le point M" correspondant se déplace toujours vers la gauche quand 0 augmente.

Il suit de là que le point M" tend vers une position limite \j- quand 6 tend vers Oo et que la tangente M "T tend, en même temps, vers une position limite ;j-T d'inclinaison 0,,. D'ailleurs, la tangente variable ]M"T

290 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUE

étant au-dessus de l'arc AMB, sa limite [xT l'est aussi et la condition iA^Fi ^ 0 subsiste au point |x. Cette condition est donc réalisée dans l'ensemble décrit par le point M" et aux points-limites de cet ensemble, donc dans un ensemble fermé qui, ayant la puissance du continu, contient un ensemble parfait (no 61).

Corollaire. — Soit F(a;) wie fonction continue dans l'intervalle {a, b), à Vintérieur duquel elle vérifie en outre la condition (K) ; si l'ensemble E des points oit une dérivée seconde généralisée de F{x) est d'un même signe, est de mesure nulle, la portion de E où la dérivée seconde généralisée de F{x) est unique et infinie, a la puissance du continu et contient un ensemble parfait.

Soit E l'ensemble des points où la dérivée considérée a le même signe qu'au point x, par exemple le signe négatif ; A^F sera négatif pour un système de trois points ;i? — h, x et x -]- k suffisamment rapprochés. Soient M', M et M" les points correspondants de la courbe : le point M sera au-dessus de la corde M'M", ce qui ramène au théorème précédent.

276. Théorème V. (Construction de la primitive). — Soit F{x) une fonction continue dans un intervalle {a, b). S'il existe une fonction f{x) intermédiaire entre les deux dérivées secondes généralisées de F{x) ou égale à l'un^ des deux, laquelle fonction f{x) soit finie et sommable dans l'intervalle [a, b), on aura, dans cet intervalle, ex rx F(.^') = ^AT j f{x) dx + fonction linéaire de x.

En effet, construisons, relativement à l'intégrale \'^^.f{x)dx,

les deux fonctions, majorante 'Oi{x), et minorante (paW, du théorème du n» 255. Formons alors les deux fonctions nouvelles :

F{x) - f^cp2(.r) dx, Y{x) - Tcp 1 (;,;) dx,

lesquelles sont infiniment voisines l'une de l'autre et comprennent entre elles la fonction

F{x)—rdx rf{x)dx,

qui est inférieure à la première et supérieure à la seconde. Ces trois fonctions s'annulent pour x = a.

Construisons, entre les points d'abscisses a et b, les arcs AMiBi, AMB, AM2B2 des trois courbes infiniment voisines :

j'i = F{x) — fofx) dx,

y = F(,r) — ^dx rf{x)dx,

y. = F{x) — <fi{x) dx.

DERIVEE SECONDE GENERALISEE. SA PRIMITIVE 29I

Nous avons)'i > y > y-z, et les trois cordes ABi, AB, AB2 sont infiniment voisines, mais AB est au-dessous de ABi et au-dessus de ABo.

Rappelons no (255) que les nombres dérivés des fonctions continues (pi(,r) et ^-zix) sont respectivement tous >/(.r) ou tous <f{x) ; il en résulte, en vertu du théorème du no 270, que la dérivée seconde généi'alisée supérieure de v'i sera plus grande que celle de F(;t-) diminuée de f{x) et, par conséquent, positive. De même, la dérivée seconde généralisée inférieure de jo sera négative.

Appliquons donc le théorème I ; l'arc AMiBi est au-dessous de sa corde et l'arc AM0B2 est au-dessus de la sienne. Donc l'arc intermédiaire AMB est a fortiori com^ns entre les deux cordes ABi et AB^.

Ainsi l'arc AMB, qui est invariable et compris entre deux droites infiniment voisines de la droite AB, iie peut différer de cette dernière droite. Soit y = px -|- q l'équation de cette droite ; nous avons donc

F(.r) — [""dx \f{x) dx = px + q,

ja Ja

ce qui prouve le théorème.

277. Théorème VI. — Si la fonction f{x) dit théorème précédent ri est pas finie partout, mais devient infinie dans un ensemble E, la conclusion de ce théorème V subsiste, pourvu que ¥{x) satisfasse à lu condition (K) dans l'intérieur de l'intervalle {a, b), et que l'ensemble E naii pas la puissance du continu, ou encore ne contienne pas d'ensemble parfait (donc, en particulier, si E est dénombrable).

En effet, nos conclusions de la démonstration précédente touchant les signes dej/i et de 3/2 ne pourraient tomber en défaut que dans l'ensemble E. Mais, en vertu du théorème IV, cela ne peut modifier la situation relative des arcs et des cordes considérés dans la démonstration. Donc les conclusions subsistent.

278. Remarque. — Si les h3'pothèses de l'un des deux théorèmes précédents ont lieu, il en résulte que F(.r) aura partout une dérivée première continue et presque partout une dérivée seconde, à savoir respectivement

F'(^r)== rf{x)dx+p, ¥"ix)^f{x).