CHAPITRE VIII

Formules fondamentales de la théorie des courbes planes.

i^ 1 . Tangente et normale aux courbes planes.

279. Représentation analytique d'une courbe plane. — Eu premier lieu, uue conrbo plaue peut être considérée comme le lieu des points du plan dont les coordonnées cartésiennes ^c et y sont liées par une équation

(1) FGv, y) -^ 0.

Xous appellerons point ordinaire de la courbe, tout point où les deux dérivées partielles F'^ et F' sont continues et ne s'annulent pas simultanément. Les autres i^oints de la courbe sont des points singuliers ; nous les supposerons, s'il en existe, isolés les uns des autres.

Dans le voisinage d'un point ordinaire où F' n'est pas nul, l'équation (1) définit une fonction implicite y de A' (n° 169) ; on peut donc résoudre l'équation (1) par rapport à y et la ramener, au moins implicitement, à la forme

(2) y - fV-),

la fonction f{x) ayant, suivant les principes de dérivation des fonctions implicites, une dérivée continue — F'^ : F'^ .

Si F^ s'annulait en un point ordinaire, F^ ne s'annulerait pas ; la résolution de l'équation pourrait se faire par rapport à x considérée comme fonction de y et l'on aurait une conclusion analogue à la précédente.

Nous mettrons le plus souvent l'équation de la courbe sous la forme (2). Xous supposerons alors l'existence ou la continuité des dérivées de f{x) jusqu'à un certain ordre qui sera indiqué dans chaque cas particulier. Nos formules s'étendront aux équations de la forme (1), en vertu des règles de dérivation des