TANGENTE ET NORMALE

fonctions implicites, à condition de noas borner aux points ordinaires de la courbe et de supposer l'existence ou la continuité des dérivées partielles de F jusqu'à l'ordre requis pour les dérivées de f.

En second lieu, on peut considérer une courbe plane comme le lieu des positions successives d'un point mobile. On est alors conduit à exprimer les coordonnées a: et y de ce point en fonctions continues d'un paramètre variable t. La courbe est alors définie par deux équations

et l'on dit que ces formules fournissent une représentation paramétrique de là courbe. Quand nous ferons usage de cette représentation, nous suxDposerons que les fonctions (^ et ^ sont continues ainsi que toutes leurs dérivées jusqu'à un certain ordre.

Nous appellerons pom^s ordinaires de la courbe, ceux où l'une au moins des deux dérivées (f'{t) ou '\>'{t) est différente de 0.

En supposant que t devienne égal à x, on reviendra, comme cas particulier, du mode de représentation (3) au mode de représentation (2).

Une courbe étant donnée sous la forme (3), il suffit d'éliminer t pour mettre son équation sous la forme (1). L'élimination pourra toujours se faire si l'une des deux équations est résoluble par rapport à t, car il suffira, cette résolution faite, de porter la valeur de t dans l'autre équation. C'est ce qui a toujours lieu en un point ordinaire.

280. Tangente en coordonnées cartésiennes. — Considérons d'abord une courbe plane, rapportée à des axes rectangulaires ou obliques, et dont l'équation soit de la forme

y = fi^h

la fonction f{x) ayant une dérivée déterminée et finie.

La tangente en un point M de la courbe est, comme on le sait déjà (n° 92), la limite d'une sécante qui passe par M et un autre point M' de la courbe qui se rapproche indéfiniment du premier. Soient x, y les coordonnées de M, .v + i^x et y + A y- celles de M' ; l'équation de la sécante sera, en coordonnées courantes ç, tj,

Faisons tendre le point M' vers M ; A.v et Aj- tendent vers 0 et leur quotient vers la dérivée, y', de y par rapport à x. L'équation de la tangente au point M sera donc

On met l'équation de la tangente sous forme symétrique en remplaçant y' par dy : dx dans l'équation (5) ; elle devient aiusi-

^^^ -d^-^-chT'

Cette nouvelle forme est indépendante du mode de représentation de la courbe.

Supposons, en second lieu, que l'équation de la courbe soit de la forme plus générale

Si ]\I est un j)oint ordinaire, une des deux dérivées F^ ou F^^ par exemple F' est différente de zéro. On peut, en vertu de l'équation précédente, considérer y comme fonction de x, et l'on trouve, en dérivant totalement l'équation,

Eemplaçant y' par sa valeur — ¥'^ : F' l'équation (5) devient (7) {l-x)il + {-r,-y)F'^ = 0.

Cette forme de l'équation de la tangente est également symétrique en X et en y. Elle donne lieu au théorème suivant :

En tout point ordinaire d'une courbe ¥{x, y) ^= 0, existe une tangente unique et bien déterminée. Son équation s'obtient en differentiant totalement celle de la courbe et en remplaçant dx par l — X et dy par r, — y.

On remarquera que l'équation (7) devient illusoire en un point singulier, car F^ et F^' s'annulent à la fois et l'équation devient identique.

Considérons maintenant une représentation paramétrique

X == cp(0, y ^ 'm,

etcLercbonsla tangente en un point ordinaire M de cette courbe. L'équation de la sécante MM' est

^x Aj-

TANGENTE ET NORMALE 2q5

Divisons les dénominateurs par raccroissement Af qu'il faut donner au paramètre pour passer de M à M' ; faisons tendre Af vers 0, donc M' vers M, et passons à la limite. Les quotients Arv : M et Ay : A^ tendent vers les dérivées supposées existantes, x' et y', de .v et de y par rapport à t. L'équation de la tangente sera donc, puisque x' et y' ne sont pas nuls tous deux,

281. Normale en coordonnées rectangulaires. — La normale en un point M de la courbe est la perpendiculaire à la tangente en ce point. Supposons les axes rectangulaires. Alors les coefficients angulaires de la tangente et de la normale sont inverses et de signes contraires. On peut donner à l'équation de la normale diverses formes correspondant à celles de la tangente.

La première correspond à l'équation (6) et est indépendante du mode de représentation de la courbe, c'est

(9) (i-x)dx + (Yi-y)rfr = 0.

Si l'on considère y comme une fonction de .v ayant pour dérivée y', l'équation de la normale, sous la forme qui correspond à (5), sera

Si la courbe a pour équation F(a', y) ■■= 0, celle de la normale en un point ordinaire x, y sera

Enfin, si x et y sont considérés comme fonctions de t, l'équation de la normale, sous la forme qui correspond à (8), sera

282. Calcul de quelques segments remarquables. — Certains segments, définis au moyen de la tangente et de la normale, se rencontrent naturellement dans l'étude des courbes planes ; nous les calculerons d'abord dans l'hypothèse d'une représentation paramétrique, c'est-à-dire en considérant .x; et y comme fonctions de t.

La sous-tangente S^ est le segiiieiit PT de l'axe des x (fig. 4), compté avec un signe déterminé du pied de l'ordonnée du point M jusqu'au point où la tangente coupe l'axe des x. Les sens positifs et négatifs sont les mômes que pour les abscisses. La sous-tangente s'obtient donc en faisant ■/) ^ 0 dans

l'équation (8) de la tangente et en tirant de là la valeur de ^ — x.

Il vient ainsi (en coordonnées rectangulaires ou obliques)

yx^

La sous-normale S,jse définit par rapport à la normale comme S/ par rapport à la tangente. C'est le segment PN dans la figure. Sa valeur s'obtient en posant ri = 0 dans l'équation (12) et en tirant de là la valeur de ç — x. Il vient (en coordonnées rectangulaires) :

Les longueurs T et X de la tangente et de la normale sont les longueurs absolues MT et MN, comprises sur ces droites entre la courbe et l'axe des .v. On a donc (en coordonnées rectangulaires) :

i^ T-Vsf+V

VSfj + y-^ ± ^ \lx'' -\- y'-\

±frW + y

La distance P de l'origine à la tangente se tire de Inéquation de cette droite par un princii^e bien connu de géométrie analytique. On conclut de l'équation (8) (en coordonnées rectangulaires ) :

Si, au lieu de considérer x et y comme fonctions de t, on considère y comme fonction de x, il faut faire x' = i dans les formules précédentes. On trouve les expressions plus simples :

( ^^--y' ^n = yy', T =

N = ± V VFrr^-, P - rf- Z^&

±^Vi+r

Vi + r'^