Rayon de courbure et développée de Vhypocycloïde

R. En posant en abrégé (a — b) :b = m, les équations de la courbe sont (Exercice 5, p. 3o3) :

X ^= b {m cos t + cos ;«/), y = b {m sin t — sin mt).

Ces équations s'obtiennent en changeant les signes de b et de ;// dans celles de l'épicycloïde. La solution est donc comprise dans la précédente. La développée sera une autre hypocycloïde.

6. Soient r le rayon vecteur d'un point d'une courbe, p la perpendiculaire abaissée du pôle sur la tangente. Montrer que le rayon de courbure a pour expression

rdr __ rr'

~dp^Y

si la concavité est tournée vers le pôle, et ces expressions changées de signe si la concavité est tournée en sens contraire.

R. Ce résultat s'obtient en dérivant la valeur de p (n'^ 285) et en la comparant à celle de R (n^ 3o2).