CHAPITRE TX

Formules fondamentales de la théorie des surfaces et des courbes gauches.

§ 1. Tangente à une courbe. Longueur d'un arc. Plan tangent à une surface.

303. Représentation analytique d'une surface. — On peut d'abord considérer une surface comme le lieu des points du plan dont les coordonnées cartésiennes x, y et z sont liées par une équation

Nous appellerons point ordinaire de la surface, tout point où les trois dérivées partielles F;^, F' F^ sont continues et l'une au moins différente de zéro. Les autres points sont des points sing'iiliers.

Dans le voisinage d'un point ordinaire où F^ n'est pas nul, l'équation (1) définit une fonction implicite, ;2, des deux variables indépendantes x et y {n° 170) et, par conséquent, elle peut se ramener, au moins implicitement, à la forme

la fonction /"ayant ses dérivées partielles premières continues.

Si F^ s'annulait en un point ordinaire, une des deux autres dérivées, F^ ou F' ne serait pas nulle et la résolution de l'équation (1) pourrait se faire par rapport à x ou par rapport à y.

Xous mettrons souvent l'équation de la surface sous la forme (2). Xous supposerons alors l'existence ou la continuité des dérivées partielles de f{x, y) jusqu'à un certain ordre, qui sera indiqué dans chaque cas particulier. Xos formules s'étendront aux équations de la forme (1), en vertu des régies de dérivation des fonctions implicites, à condition de nous borner aux points ordinaires de la surface et de supposer l'existence ou la conti-