TANGENTE A UNE COURBE
niiité des dérivées partielles de F jusqu'à l'ordre requis pour celles de f.
On peut aussi définir une surface an moyen d'une représentation paramétrique. On exprime alors les coordonnées .v, y, z de ses points en fonctions de deux paramètres indépendants u et v. La surface est alors représentée au moj^en de trois équations :
(3) X - f,{u, v), y - U{ii, v), z - /;(w, v).
Quand nous emploierons cette représentation, nous sux)poserons les trois fonctions f continues ainsi que leurs dérivées jusqu'à un certain ordre à indiquer.
Nous appellerons points ordinaires de la surface ceux où l'un au moins des trois déterminants :
àf, àf\ du dv
dh OU du dv
dh àU du dv
dU dU du dv
dh dn
du dv
àf\ df, du dv
est différent de zéro.
Dans le voisinage d'un point ordinaire ainsi défini, on peut encore considérer une des trois coordonnées x, y, z comme fonction des deux autres. En effet, si le premier de ces déterminants est différent de zéro, les deux premières équations (3) définissent u et y en fonction de x, y et, en portant ces valeurs dans la troisième équation, on obtient z en fonction de x et j, c'est-à-dire que l'équation de la surface se met sous la forme (2) .
Donc, dans les démonstrations, on pourra supposer à son gré que la surface soit définie par une équation de la forme (2) ou par un système de la forme (3). Les démonstrations seront générales à condition de se borner aux points ordinaires de la surface.
304. Représentation analytique d'une courbe de l'espace. — En premier lieu, on peut définir une courbe de l'espace comme l'intersection de deux surfaces différentes, ou comme le lieu des points dont les coordonnées vérifient deux équations :
Les points ordinaires de la courbe sont ceux où les deux fonctions Fj et F^ sont continues ainsi que leurs dérivées par*
tielles premières et où l'an au moins des trois déterminants
dy dz dF^ dF^ dy dz
dF, dF, dz dx
dF, dF, dz dx
dF, dF, dx dy
dF. dF, dx dy
n'est pas nul.
Si le premier de ces déterminants n'est pas nul, les équations (4) définissent deux fonctions implicites y et z de ;x; et, par conséquent, elles peuvent, au moins implicitement, se ramener à la forme
ces deux fonctions ayant des dérivées premières continues.
Les résultats que nous établirons en raisonnant sur les équations de la forme (5) s'étendent aux équations de la forme (4), à condition de nous limiter aux points ordinaires de la courbe et d'introduire les conditions de continuité des dérivées jusqu'au môme ordre.
On peut, en second lieu, considérer une courbe comme le lieu des positions successives d'un point mobile, ce qui conduit à expi'imer x, y, z en fonction d'une variable indépendante t. On obtient ainsi une représentation paramétrique de la courbe au moj'cn de trois équations :
(6) x = '^,{t), y=^^,{i), 5 = cp3(0.
On appelle alors points ordinaires de la courbe, ceux où les trois fonctions o sont continues ainsi que leurs dérivées et où l'une au moins des trois dérivées cp|, ^^ ou cp^ est différente de zéro.
Dans le voisinage d'un point ordinaire, le système (6) peut aussi se transformer dans le sj'stème analogue à (5). En effet, si o[{t) n'est pas nul, la première équation (6) définit t en fonction de X (n° 170), et en portant cette valeur dans les deux équations suivantes, on obtient y et 2 en fonction de x.
Donc, dans les démonstrations, on peut choisir le mode de représentation que l'on veut. Les conclusions seront générales à condition de se borner aux points ordinaires de la courbe.
C'est le mode de représentation paramétrique qui est le plus employé, x^arce qu'il a l'avantage de rendre les formules plus symétriques. Les formules ainsi établies renferment comme cas
TANÔENTE a tlNE COURBE 827
particulier celles relatives au premier mode de représentation, car les équations (6) se réduisent à la forme (5) si t ^ x.
Pour les démonstrations, nous mettrons le plus souvent les équations de la courbe sous la forme (6) et nous indiquerons jusqu'à quel ordre nous supposerons l'existence ou la continuité des dérivées.
Lorsque tous les points d'une courbe sont dans un même plan, la courbe est plane, elle est gauche dans le cas contraire.
305. Tangente et plan normal à une courbe. — Supposons que la courbe, rapportée à des axes rectangulaires ou obliques, ait pour représentation paramétrique
(7) x = ^,{t), r-=cp.(0, 2=-?3(0.
La tangente en un point M de coordonnées ;x;, y, z est la limite d'une sécante passant par ce point et par un autre point M' qui se rapproche indéfiniment du premier. Soient ^t l'accroissement qu'il faut donner au paramètre pour passer de M à M' ; A.\', Ay, As les accroissements correspondants des coordonnées. Les équations de la sécante MM' peuvent s'écrire (^, T], ^ désignant les coordonnées courantes)
^ ' A.X Aj Az '
Divisons les dénominateurs par Af et faisons tendre Af vers 0. Les quotients A.\' : Af, Ay : A^, As : \t tendent vers les dérivées x', y', z', supposées existantes, de x, y, z par rapport à t. On trouve ainsi les équations de la tangente au point M, à savoir
Ces équations supposent toutefois que x', y', z' ne s'annulent pas simultanément au point M, et c'est ce qui a lieu en un point ordinaire de la courbe.
Multiplions par dt les trois dénominateurs des équations (9) ; les équations de la tangente prennent la forme suivante, indépendante du mode de représentation adopté pour la courbe :
^ — x ri — y
dx dy dz
Le plan normal en un point d'une courbe est le plan mené par
ce point perpendiculairement à la tangente. Nous supposerons les axes rectangulaires. L'équation du plan normal se déduit des équations (9) ou (10), car les coefficients de direction de la tangente sont les coefficients de l'équation du plan normal ; cette équation sera de l'une des deux formes :
(12) Cç - x) dx + (r, - y) dy + (r - c) dz = 0.
306. Longueur d'un arc de courbe. Différentielle de l'arc. — La longueur d'un arc de courbe AB se définit connue dans le cas des courbes planes (n'^ 286). C'est la limite, quand elle existe, du périmètre d'un polygone inscrit dont les sommets se suivent dans un sens déterminé, lorsque le nombre des côtés augmente indéfiniment et que chacun des côtés tend vers zéro. Nous allons démontrer l'existence de cette limite, en supposant que tous les points de l'arc AB soient des points ordinaires. Xous pouvons donc admettre que les équations de la courbe soient de la forme
les deux fonctions cp et <]> ayant des dérivées continues. Les axes seront suj)posés rectangulaires.
Soient a et b les abscisses des extrémités de l'arc AB (a < b). Marquons sur cet arc n -\- 1 points (y compris les extrémités). Soient a'i, a^,... An+j les abscisses de ces points numérotées par ordre de grandeur, de sorte que Ai = a et Xn+i == b seront celles des extrémités. Désignons par y^ et Zi les valeurs de y et de z pour A = Xi. Inscrivons dans l'arc AB un polygone ayant ces 71 + 1 points pour sommets. Le côté Ci qui joint les points d'abscisses Xi et Xi-^i a pour longueur
Cl ^ V(A,+i - A,)^ + (y,+, - y,)2 + {Zi+, - Zif.
]\lais la formule des accroissements finis nous donne, Xj et \i étant compris entre Xi et a^+i,
Yi+i — yt = {^i+i — -vO'fX^ï), Zi+, — Zi = (Xi+i — xi) yi^i).
Désignons par Mj et iiii les bornes supérieure et inférieure de la fonction o'{xy^ dans l'intervalle (a^, A/-^i) et par 6 une quantité de valeur absolue moindre que i ; nous aurons
^'(X,)-^==cp(^,)^ + ô(M,-i«,).
LONGUEUR d'un ARC 320
Donc, en posant, en abrégé,
hi = {Xi+i — Xi),
nous pouvons mettre Ci sous la forme
Ci ^ 0, v'i f ^%T + '^^Y + 0(M^ - nii). Mais la raeine carrée d'une quantité supérieure à l'unité varie moins rapidement que cette quantité (*) ; nous avons donc
Q .^ 8, Vi + 'f%Y + niiY,
avec une erreur moindre en valeur absolue que (M^ — irii) Oi ; et, en désignant par P le lîérimètre du pol3^gone inscrit,
avec une erreur moindre que S(M^ — mi)hi.
Faisons tendre tous les côtés du polygone et, par suite, tous les ùi vers zéro : il vient par définition de l'intégrale (n° 220)
lim P -= C dx\Ji + (f'{xy + y{xy
sans aucune erreur, car, comme la fonction continue f'{xy est intégrable, les deux sommes llMSi et Eiuiùi tendent vers la môme limite et 2(Mi — mi)ùi tend vers zéro.
L'arc variable AM, compris entre un point fixe A d'abscisse a et un point variable M d'abscisse x, est une fonction s de rv. Cette fonction est continue et admet une dérivée. On a, en effet,
(13) s = \'\lxsji 4- o'ixy + <^'{xY.
ds
(14) ^ = Vi + =pW^ + V(a-)^
La différentielle de Varc sera donc
(15) ds ^ dx\i + ^'{xy- + ^'W -= dxyji + (^g J + (^)'-
Dans les calculs précédents, tous les radicaux ont été pris positivement, ce qui revient à considérer l'arc s comme crois-
[*) En effet, si a est > i, on a, quel que soit x,
I V^T + ^-Vâ I = I A- : (V^^T^+ V^) I < 1 ^^- I
33o CHAPITRE IX. SURFACES ET COURBES GAUCHES
sant dans le même sens que ;v. Dans l'iiypotlièse inverse, les radicaux seraient pris négativement. Nous ferons (sauf indication contraire) la première hypothèse, chaque fois que x sera pris comme variable indépendante.
307. Théorème — Le rapport d'un arc infiniment petit à la corde qui le soiis-tend a pour limite Vunité.
En effet, soient As la longueur de l'arc, A.v, Ay et ^z les différences des coordonnées des extrémités. La corde correspondante c a pour mesure \j^x^ + ^y'^ -\- ^z^. Lorsque ces quantités tendent vers zéro, on a
As ds
As ,. A.x dx
lim — ^- lim — — = — , = I,
en vertu de la formule (15). Le signe du radical ne donne pas lieu à discussion, car il ne s'agit dans le théorème que de longueurs absolues.
308. Dérivée et diflerentielle de Tare dans le cas d'une représentation paramétrique. — La formule (15) peut se mettre sous la forme
(16) ds ^ du \Jdx^ + dy2 + dz^.
Cette formule ne contient plus que les différentielles des coordonnées et elle ne dépend plus en rien du mode de reijrésentation choisi pour la courbe. Elle est donc générale et elle s'applique au cas d'une représentation paramétrique. Les coordonnées X, y, z sont alors des fonctions de t ayant, par hypothèse, des dérivées continues x', y', z'. Remplaçons dx, dy, dz par x'dt, y'dt, z'dt. La formule (16) devient
(17) ds - ± dt\/x'^ -i- y'2 + z'^
et la dérivée s' par rapport à t sera
Le signe à donner aux radicaux dépend du sens dans lequel on compte l'arc. Sauf indication contraire, nous leur donnerons le signe +, ce qui revient à compter l'arc dans le sens où t varie en croissant.
LONGUEUR d'un ARC 33]
309. Cosinus directeurs de la tangente. — Nous désignerons par a, [i, Y les cosinus clos angles que fait la tangente avec les axes coordonnés, ou les cosinus directeurs de cette droite. Pour les définir sans ainbiguité, considérons la tangente menée au point M(x, y, :■) dans le sens des arcs croissants. Les cosinus directeurs de la droite MM' qui joint le point M au point M' de coordonnées .V + A.v, y 4- Ay, ;i 4- A0 sont, c désignant la longueur absolue de la droite MM',
A.v Ay ^z c ' c ' c '
Soit A.s l'arc MM' ; As sera positif si MM' est mené dans le sens des arcs croissants. Or les expressions précédentes peuvent s'écrire
A.x As A j As Az As As c ' As c ' As c "
Quand M' tend vers ^I, As et c étant positifs, As : c a pour limite -f i (n° 3o8). Les cosinus directeurs de la direction MM' à la limite sont donc
^^^) ""^ ds' '^ =^ ds' ^ = ^'
Tels sont, en grandeur et en signe, les cosinus directeurs de la tangente menée dans le sens des arcs croissants.
Dans le cas d'une représentation paramétrique, x, y, z sont des fonctions de f ; on peut, dans les formules précédentes, remplacer les différentielles par les dérivées et s' par sa valeur (18) ; il vient ainsi
Si le radical est j)i"is positivement, s et f croissent dans le même sens et la tangente est menée dans le sens où t varie en croissant.
Remarque. — Les formules précédentes prouvent que toute courbe dont les tangentes sont parallèles à une direction fixe, se réduit à une droite. En effet, soient, a, b, c les coefficients de la direction fixe. On a
Doue X : a. y^ : b Qt z : c, ayant même dérivée, ne diffèrent que par des constantes et l'on a
Ce sont les équations d'une droite.
310, Plan tangent à une surface. — Considérons d'abord une surface définie par l'équation
Théorème. — En tout point M de la surface où f{x, y) est différentiable, le lieu géométrique des tangentes menées au point M à toutes les courbes tracées sur la surface et passant par ce point, est un plan auquel on donne le nom de plan tangent à la surface.
Toute courbe tracée sur la surface et douée d'une tangente, se projette sur le plan xy suivant une certaine courbe plane douée d'une tangente. Considérons une représentation paramétrique de cette courbe plane
(22) A- = ç(0, v^HO-
L'ensemble des équations (21) et (22) fournit une représentation paramétrique correspondante de la courbe tracée sur la surface, car, en remplaçant rv et y par ©(^) et '\'{t), l'équation (21) donne aussi z en fonction de t.
Les ^équations de la tangente au point M(a;, y, z) de cette courbe sont (n<^ 3o6)
Mais, en dérivant totalement l'équation (21) par rapport à t, en désignant par p, q les dérivées partielles de f{x, y) par rapport à. X, y et en observant que les dérivées x', y' par rapx^ort à t sont existantes par hypothèse, on a (n° i5o)
z' - px' + qy'.
En éliminant x', y', z' entre cette équation et les précédentes, on trouve la relation
c\ ■ Ai. j
