PLAN TANGENT A UNE SURFACE
qui est vérifiée par les coordonnées $, t], ^ d'un point d'une tangente quelconque x^assant par M. Cette équation, étant du premier degré, est celle d'un plan. Ce plan est le plan tangent à la surface au point M.
Considérons maintenant une surface définie par l'équation (25) F(-v, y, -) = 0.
Elle admet un plan tangent en tout point ordinaire. En effet, une des dérivées, F^ par exemple, n'est pas nulle. Alors l'équation (25) admet une solution 2 de la forme (21) dont les dérivées partielles sont
Le théorème précédent s'applique et, par la substitution de ces valeurs de p, q, l'équation (24) devient
Donc r équation du plan tangent en un point ordinaire s'obtient en différentiant totalement Véquation de la surface et en remplaçant dx, dy et dz par ^ — x, -n — yefC, — z.
Considérons enfin une surface définie par une représentation paramétrique
(27) A- ^ U{u, V), y == /;(«, V), z = au, u).
Il suffit de faire u et v fonctions d'un paramètre unique t pour que les équations précédentes soient celles d'une courbe tracée sur la surface. Les équations de la tangente à cette courbe au point M sont, les accents désignant sans indices des dérivées par rapport à t,
Mais, X, y, z étant supposés différentiables en u, v, les coefficients de directions x', y' et z' ont maintenant pour expressions : x' = a; u' + x[, V, y' = j; u' -h r; v, z' = zl u' + ^>' ;
et ils sont liés par une relation générale, qui résulte de l'élimination de u' et v', Si savoir
L'éliminai ion de x', y', s' entre les équations de la tangente et cette relation fournit une équation vérifiée par les coordonnées des. points d'une tangente quelconque passant par M. C'est l'équation du plan tangent. Pour l'obtenir, il suffit de remplacer oc', y', z' par ç — X, T, — y et ^ — z dans la relation précédente, ce qui donne
D'ailleurs, eu un point ordinaire, cette équation ne peut pas se réduire à une identité, car l'un au moins des trois mineurs relatifs à ^ — x, tj — y QfC, — z n'est pas nul (n" 3o3).
311. Normale à une surface (axes rectangulaires). — La normale en un point M (.v. )-, z) d'une surface est la perpendiculaire élevée au plan tangent en ce point. Les équations de la normale se déduisent immédiatement de celle de ce plan. En effet, les axes étant rectangulaires, les coefficients de directions de la normale sont les coefficients de l'équation du plan tangent. La normale sera représentée par l'un des trois systèmes d'équations, corresi^ondant respectivement à (24), (26) et (28) :
Ti — y
Les cosinus directeurs X, Y, Z de la normale sont proportionnels aux dénominateurs qui figurent dans chacun des trois systèmes d'équations. Ils se déterminent donc par l'un des trois systèmes correspondants :
= "vr
uYv
-uK-''
^uy'v yic^v
PLAN OSCULATEUR 335
Le double signe du radical correspond aux deux sens opposés dans lesquels on peut mener la normale.
§ 2. Plan oscillateur.
Courbure et torsion des courbes gauches.
312. Représentation de la courbe. — Dans tout le paragraphe actuel nous considérerons la représentation paramétrique suivante d'une courbe gauche :
Nouo admettrons la continuité des dérivées premières et secondes de X, y, c par rai)port à t, en outre (mais seulement à partir du n° 32o) l'existence des dérivées troisièmes. Les points seront supposés ordinaires, donc l'une au moins des dérivées x', y', z' différente de 0.
Nous supposerons les axes coordonnés rectangulaires (*).
313. Plan osculateur. — Le plan oscnlateiir en un point M iVune courbe gauche est la limite d'un plan passant par le point M et deux autres points M' et M" de la courbe qui se rapprochent Indéfiniment du premier. — Cherchons-en l'équation.
L'équation d'un plan quelconque est de la forme
(2) A^ + Br, + cj; + P -= 0.
Posons A, B, C et P désignant des constantes et x, y, z les fonctions (i) de t écrites ci-dessus,
(3) F(0 = Ax + By + C^ + P.
Soient t, t^ et ^2 les valeurs du paramètre qui correspondent aux trois points M, M' et M" ; les équations qui expriment que le plan (2) passe par ces trois points sont :
Mais alors, en vertu du théorème de Rolle, F' a une racine t comprise entre t et t^ et une autre racine x' comprise entre f i
(*) Ou observera cepeiulaut que les u^s 3i3, 3i4 et 3i5 subsisteut sans cliangemeut en axes obliques.
et tz. Pour la même raison, F" a une racine t, comprise entre t et t'. On a donc les trois équations :
Faisons tendre M' et M" vers :\r, c'est-à-dire t^ et fg vers t ; T et Ti tendent aussi vers ? et, à la limite, les dérivées étant continues, les trois équations précédentes deviennent :
Ce sont les trois équations qui déterminent les coefficients A, B, C et P de l'équation du plan osculateur (ou, plus exactement les rapports de ces coefficients). En les développant, il vient :
' Ax + By + CZ. + V = 0, (4B) Ax' -j- By' + C^' = 0,
( Ax" + By" ^- C^" - 0.
On élimine P en soustrayant de (2) la première des équations (4) ; on met ainsi l'équation du ])lau osculateur sous la forme
où A, B, C doivent satisfaire aux deux dernières équations (4^). Entre celles-ci et (5), on peut éliminer A, B, C et l'on obtient l'équation du plan osculateur sous forme de déterminant :
Les coefficients A, B, C ne sont déterminés jusqu'ici qu'à un facteur près. Mais nous conviendrons de désigner par A, B et C les coefficients qui figurent dans l'équation (6), de sorte que nous pos(irons
Les équations (5) et (6) ne représentent le plan osculateur que si l'une au moins des quantités A, B et C est différente de zéro. Si ces trois quantités s'annulaient simultanément en un point, les deux équations se réduiraient à des identités et l'équation du plan osculateur devrait être modifiée. Xous laisserons de côté ces points exceptionnels pour le moment. Il doit donc être
PLAN OSCULATEUR 887
bien entendu à partir d'ici cxu'une au moins des trois (|uantité.s A, B, C est supposée différente de 0.
Remarque. — Il est impossible que A, B, C s'annulent à la fois tout le long d'une courbe. En effet, on aurait, le long de cette courbe,
^ = ^ =^= ^ ou D Log x' = J) Log y' = D Log z'.
Donc Log .v', Log y', Log z', ayant même dérivée, ne différeraient que par des constantes et les quantités x', y', z' seraient dans un rapport constant. On i^ourrait donc poser
x[y^^z[ abc'
et, la direction de la tangente étant constante, la courbe se réduirait à une droite (n*^ 309).
314. Théorème, — Le plan mené par la tangente au point M parallèlement à la tangente au point infiniment voisin M', a pour limite le plan osculateur.
Soit (2) l'équation de ce plan. La condition de ])asser par M doHue F{t) ■-= 0 ; la condition d'être parallèle à la tangente au même point M, tangente dont les cosinus directeurs sont proportionnels à x', y', £■,. donne Aa;' + By' + Cz' - 0 ou F'(0 = 0 ; de même, la condition d'être parallèle à la tangente au point M' donne F'(f,) =- 0. Mais alors, en vertu du théorème de Rolle, F" a une racine t comprise entre t et t^. Les coefficients du plan considéré vérifient donc les trois équations :
Quand M' tend vers M, ^1 tend vers t et t également. Donc les coefficients du plan-limite vérifient les trois équations qui déterminent ceux du plan osculateur :
315. Cercle osculateur. — Le cercle osculateur en un point M d'une courbe gauche est la limite cVun cercle passant par ce point et par deux autres points M' et M" de la courbe qui se rapprochent indéfiniment du premier.
Soient x\, y\, z^ les coordonnées du centre et R le rayon du cercle passant par les trois jjoints M, M' et M". Soient t, t^, t^ les valeurs du paramètre correspondant à ces trois points. Considérons X, y, z comme les fonctions (1) de t et posons
Les quantités x^, y■^, z^ et R vérifieront les trois équations :
qui expriment que le centre (x^, y^, z^) est à la distance R des trois points M, M' et M". On en conclut, comme dans le cas d'une courbe plane (n'^ 294), que les éléments a'i, y^, z^ et R du cercle osculateur vérifient les trois équations :
F{i) = 0, F'(0 = 0, F"(0 -- 0. D'autre part, le cercle osculateur étant dans le plan osculateur, qui est la limite du plan MM'M", les coordonnées du centre vérifient l'équation (5) de ce plan. On a donc
(8) A{x — Xy) + B(y — ji) + C{z — z,) = 0, l'une des trois quantités A, B, C étant suj)posée différente de 0 (n° 3i3).
Ajoutons à celles-ci les équations F'(^) = 0 et F''(f) = 0, qui développées deviennent
Nous formons un système de trois équations, résoluble par rapport à (a- — Ai), ()• — 3-1) et {z — ;;,), et d'où l'on tire, en observant que le déterminant du système est A^ + B^ -\- C', qui est différent de 0 par hypothèse (n" 3i3),
(10) Bs'— Cy' Ca— As' A3-' — Ba' A- + B^ + C^
Ces équations déterminent les coordonnées x^, y^ et z^^ du centre du cercle osculateur.
Le rayon R se détermine ensuite au moyen de l'équation ¥{t) = 0, qui donne
R^ = (A - aO^ f {y - y, Y + {z- z,Y.
Remplaçons dans le second membre les i)arenthèses par leurs valeurs tirées du s^-stème i^récédent, et ayons égard à l'identité
CERCLE OSCULATEUR 889
I (B^' — Cy'Y + (Cx' - AzJ + (A3-' - Bx'y = ^^^^ I (A^+B'^ + C^)(A;'2 4-y'-^ + 5'0-(AA;'+B/+C5')^;
il viendra, puisque ce dernier carré est nul (4^^),
A'^-fB^ + C^ ' yA.2 + B'^ + C^"
On attribue à R une valeur i^ositive, donc au radical le signe de s'.
Remarque. — Le centre du cercle osciiliiteiir se trouve, comme on l'a vu plus haut, dans le plan oscillateur. Il se trouve aussi dans le plan normal. En effet, la première des équations (9), F'(^) = 0, exprime que les coordonnées x^, y^, z^ vérifient l'équation du plan normal.
316. Transformation des formules précédentes. — Pour un instant, prenons s comme variable indépendante ; nous aurons s"~ = i et Ds'2 = 0, c'est-à-dire
Ces formules permettent de simplifer celles du n'' précédent. Nous avons, en effet, eu égard aux valeurs (7) de B et C,
B^' - Cy' = {y'^ + z")x" - (yy + z-z')x'
De même,
Cx' — Az' = y", Ay' — Bx' = z",
et l'identité (11) se réduit à
Comme, dans notre liypotlièse sur s, les dérivées .v'', y", z" sont les dérivées premières de cl, {i, y (cosinus directeurs de la tangente), les formnles précédentes deviennent
B^' - Cr' = ''^-, Cx' - A.' = f. Ay' - B.V = %
'■ ds ds ' ds
--<^iT+(f)-KIT
Portons ces valeurs dans les formules (10) et (12), nons trouvons
^'"^^ tZa "~ rf^ ~~ çZy ihr + dp'- + df
ds ds ds
Ces formules (13) ne contiennent i3lus que des différentielles premières d'éléments définis sur la courbe, elles sont donc indépendantes du choix de la variable indépendante et générales comme (10) et (12).
317. Courbu'-e. Rayon de courbure. — La courbure se définit dans les courbes gauches comme dans les courbes planes. Considérons sur la courbe deux points M et M' et menons les tangentes MT et M'T' en ces deux points dans le sens des arcs croissants. Formons le rapport de l'angle de ces deux tangentes à la longueur de l'arc ; la limite de ce rapport quand le point M' se rapproche indéfiniment da point M, s'apjpelle la courbure de la courbe au point M.
Le rayon de courbure au point M est le rayon d'un cercle ayant même courbure que la courbe en ce point ; il est donc égal à l'inverse de la courbure.
Pour déterminer ce rayon R, désignons par a, ^, y les cosinus directeurs de la tangente MT au point M (.v, v, :■), par a + Aa, [3 -f Ap, y -|- Ay ceux de la tangente M'T' au point M', par <p l'angle des deux tangentes MT et M'T' ; on a
cos (p = a (a + Aa) + [i {^ -f A^) + y (y + Ay).
Mais les cosinus directeurs de MT et M'T' satisfont aux deux relations :
a^ + [i-^ -i-f = J, (a + Aa)2 + (,6 + ^^Y -r (y + Ay)-^ = i.
En les ajoutant, il vient 2[a(a + Aa) 4- [:i ([i + AJ3) + y (y -f- Ay)] = 2 - (Aa^ + AjS^ + Ay^) ; d'où, puisque le premier membre est 2 cos cp,
Aa2 f A,3- + Ay2 = 2 (i — cos'p) = (^2 sin ^\
Comme le rapport de 2 sin ^ à © a i)Our limite l'unité quand ^ tend vers zéro, ou peut, sans en changer la limite, substituer ces deux quantités l'une à l'autre dans un rapport d'infiniment petits. Soit As la longueur de l'arc infiniment petit MM' ; la courbure I : Iv au point M est égale à la limite de o : A.s- ; il vient donc
