VA2 + B" + C

ù le radical reçoit le signe de s'.

Le cercle osculateur, ayant pour rayon le rayon de courbure, reçoit, à cause de cela, le nom de cercle de courbure et son centre celui de centre de courbure.

318. Position du rayon de courbure. Normale principale. — On considère généralement le rayon de courbure comme déterminé de situation, de direction et de sens. C'est le vecteur mené du point M au centre de courbure correspondant, dont les coordonnées Xi, 3*1 et Zi ont été déterminées ]3récédemment (n'' 3i6). Le rayon de courbure est normal à la courbe et situé dans le plan osculateur, car le centre de courbure se trouve dans le plan normal et dans le j^lan osculateur (n° 3i5). On donne le nom de normale principale à celle qui a cette direction et ce sens. Ses cosinus directeurs X, [ji et v se déduisent, sans ambiguité de signe, des équations (13) en y faisant les substitutions :

A'i — X = RX, y\ — y --= Riji, z^ — z = Rv.

Il vient ainsi

(14) A.!i=.JL^

^ ^ dy. d^ rfy ds'

ou encore , en divisant tous les dénominateurs par dt,

(Ib) A J^ ^ ^

Comme a', ^' et y' changent de signe en même temps que s',

ces formules mettent en évidence que A, ^., v ne dépendent pas

du sens dans lequel on compte les arcs.

319. Directions principales. Sens de la binormale. — Par le point M d'une courbe, menons la tangente dans le sens des arcs croissants, la normale principale et la perpendiculaire au plan oscu-

lateur. Cette dei^nière droite, qui est perpendiculaire aux deux autres, s'appelle, à cause de cela, la binormale. Ces trois droites forment, en ehacxue point d'une courbe, le trièdre principal et leurs directions, qui sont perpendiculaires entre elles, s'appellent les directions principales.

Les cosinus directeurs a, ^ et y de la tangente MT menée dans le sens des arcs croissants, et ceux \ {jl, v de la normale pi'incipale sont définis sans ambiguïté par les formules (20) du n° 309 et (15) du n" 3i8, à savoir

Xous désignerons par X, Y et Z les cosinus directeurs de la binormale MB. Ceux-ci étant proportionnels aux coefficients A, B et C de l'équation du plan osculateur, nous aurons

ABC VA^-fB^ + C^'

Le radical est susceptible d'un double signe, qui correspond aux deux sens opposés dans lesquels on peut mener la binormale MB. Pour déterminer ce sens et, par conséquent, le signe du radical, il faut une nouvelle convention. Nous conviendrons de mener la binormale MB de telle manière que le trièdre principal MïXB soit de même rotation que celui OXYZ des axes coordonnés, c'est-à-dire que ces* deux trièdres soient superposables, MT sur OX, MX sur OY et MB sur OZ. Pour réaliser cette condition, nous allons montrer qu'il faut donner au radiral qui fig-ure dans les formules (16) le signe de s'.

En effet, considérons le déterminant 0 formé avec les cosinus directeurs des directions principales et remplaçons-y a, jj, y et )v, ij., V par leurs valeurs ci-dessus ; il vient

a' p' y XYZ I I X Y Z

Substituons encore les valeurs

il vient, par les propriétc'S des détenninants,