AX + BY + CZ

Remplaçons X, Y, Z par leurs valeurs (16) ; il vient, le radical ayant le même signe que dans ces formnles,

Reportons-nous à la valeur (12) de R ; il en résulte que S est égal à + I ou à — i suivant que le radical a le signe de s' ou le signe contraire (*). Donc, le radical recevant le signe de s', on a 8 = + I.

Or S = + I est la condition qui exprime que les deux trièdres MTNB et OXYZ sont de même rotation.

En effet, on peut toujours, par un déplacement continu, amener MT en coïncidence avec OX et MX en coïncidence avec OY. Alors MB est dirigé suivant OZ ou en sens contraire ; selon qu'on se trouve dans l'une ou l'autre hypothèse, on a Z -= ± I, d'où

Mais, si S était égal à + i avant le déplacement, il le sera encore après, car il ne peut changer brusquement de valeur pendant le déplacement. Donc MB sera venu en coïncidence avec OZ.

320. Torsion. Rayon de torsion. — Après avoir considéré l'angle de deux tangentes menées en deux points différents M et M' de la courbe, il est naturel de considérer l'angle de deux plans osculateurs. On arrive ainsi à la notion de seconde courbure ou de torsion.

Comme nous l'avons déjà dit au n° 3i3, nous admettons dès maintenant l'existence des dérivées troisièmes de .v, y, z.

(*) Le déterminant S formé avec les cosinus directeurs de trois directions rectangulaires est toujours égal à -f i ou à — i. Ou le vérilie immédiatement en élevant ce déterminant au carré par la règle connue.

Considérons l'angle à des plans osculateurs aux points M et M' ; formons le rapport de cet angle à l'arc MM' : la limite de ce rapport quand M' tend vers ]\1 est la torsion de la courbe au point M. Le rayon de torsion ï au point M est l'inverse de la torsion en ce point.

Remarquons que l'angle des plans osculateurs aux points M et M' est le même que celui des binormales en ces mêmes points. Les cosinus directeurs de la binormale ont été désignés par X, Y et Z. Donc le même calcul que celui qui a été fait au n'^ 3i7 pour déterminer i : R au moyen des cosinus directeurs a, |j et V de la tangente, donnera, dans le cas actuel,

Cette formule suffit pour déterminer la valeur absolue de la torsion et du rayon de torsion. Un examen plus approfondi conduit cependant à donner un signe à la torsion. C'est ce qui sera fait dans le numéro suivant où nous donnerons en même temps la valeur de ï eu fonction des dérivées de x, y, z.

321. Signe de la torsion. Détermination du rayon de torsion en grandeur et en signe, — On a les trois équations :

X2 + Y^ -f Z- =^ I, Xa-' + \y + Zz' =- 0, X.v" + Y y" + Zs" = 0.

En effet, la première devient identique et les deux suivantes se réduisent aux équations (4 ^) quand on remplace X, Y, Z par leurs valeurs (16). Dérivons ces équations en tenant compte de la dernière ; il vient

XX' + YY' -I- ZZ' = 0, jc'X' -h 3-'Y' + z'Z - 0, A'"X' + y"Y' + -"Z' = — (Xa'" + Yy'" + Zs'").

C'est un système de trois équations résoluble par rapport à X', Y', Z' et dont on tire, en observant que le déterminant du système est AX + BY -|- CZ (qui est différent de 0 en même temps que A^ + B- + C-),

X' Y' Z' — (Xa:'" + Y.v'" + Zz"')

Yz' — Z v' Za' — Xs' X3-'— Ya' AX + BY f CZ

Tir ~- ' ^ - Ua 3 A -- -T-

T^ A \'"' -i- ISA'