FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

4- X . Les valeurs de Tare pour lesquelles la tangente reprend la même valeur diffèrent entre elles d'un multiple de 7t ; donc les autres branches de la fonction arc tg x s'expriment, au moj^en de la première, pai- la seule formule

y =- arc tg a- + A-t;.

4" Les autres fonctions inverses se ramènent aux précédentes par les formules, correspondant aux trois dernières du n° 87 :

arc cot .Y = -"" — arc tg a-,

arc sec x = arc cos - .

arc cosec x =^ arc sm — .

Exercices.

I. Toute fonction f{x) qui reste bornée dans l'intervalle (0, z) et qui satisfait, pour toutes valeurs réelles de x et de y, à la relation

est de la forme f{x) = ax, a constant (s peut être aussi petit qu'on veut).

En raisonnant de proche en proche, on déduit d'abord de la relation donnée que l'on a , m et n étant des entiers quelconques,

f{mx + n) = mf{x) -]-nf{i).

Prenons m > 1 : z ; faisons varier x d'une manière quelconque dans

l'intervalle ( 0, — 1 et faisons tendre l'entier n vers l'infini. La variable

7nx -\- n=^ç tendra vers l'infini d'une manière arbitraire et l'on déduira de l'équation précédente, puisque /(a;) reste bornée par hypothèse,

lim /(^) mf{x) + nfii)

y —^ — = lim ; =/(i) = a.

î = °o ? mx -i- n ■' ^ '

Prenons ensuite n = 0 et faisons tendre m vers l'infini ;' on déduira de la même équation, en tenant compte du résultat précédent,

/(^^lim f{mx) ^ ., , ^ X w = 00 mx

2. La seule fonction qui reste bornée dans l'intervalle (0, t), qui n'est pas constamment nulle et qui satisfait pour toute valeur de x à l'égalité

est la fonction f{x) = A^, A constant. (Quelque petit que soit t).

On déduit d'abord de cette relation /(2,r) =/{x)~,f[z) =^fix)f{z — x) ; donc : i° /(x) est toujours positif; 2° si /(e) n'est pas nul, la limite inférieure def{x) est > 0 dans l'intervalle (0, t).

On posera donc 'Logfix) = '-o{x),^{x) sera borné dans l'intervalle ((), t) et on appliquera la propriété de l'exercice précédent.

On remarquera : 1° que, dans ces théorèmes, on ne postule pas la continuité de la fonction ; 2° que, si l'on ne considérait que les valeurs rationnelles de x, il serait inutile de supposer d'avance /(a;) borné.

g 6. Nombres complexes.

39. Notation du nombre complexe. — Ou donne le nom de nombre complexe ou imuginnire à l'ensemble de deux nombres réels a et b, rangés dans un certain ordre, et l'on représente cet ensemble par la notation

a + bi.

Les exj)ressions de cette forme sont soumises à des règles de calcul conventionnelles. C'est dans l'énoncé de ces règles que consiste la définition mathématique des quantités complexes. Le symbole i n'a aucun sens i)ar lui-même, il sert seulement à maintenir séparés l'un de l'autre les deux nombres a et b qui jouent un rôle différent dans les opérations que nous allons définir. Le signe + sert à marquer la connexion des deux nombres a et 5 et son emploi se justifiera de lui-même un peu plus loin.

Le calcul des quantités complexes repose sur les huit conventions suivantes que nous indiquerons en les numérotant :

40. Premières conventions. — La première convention est relative à Végalité. On écrit

(1) i± + bi = a' 4- bi\

si l'on a séparément a =--^ a' et ^ == b' . de sorte qu'une équation entre quantités complexes revient à deux équations entre quantités réelles.

Les trois conventions suivantes, où la notation elle-même joue un rôle essentiel, sont exprimées par les trois équations :

(II) a 4- Oî =- a,

(III) 0 4- èi = bi,

(IV) 0 4-i/=-/.

38 XOMBUKS CO^rPLEXES

Elles font rentrer respectivement dans l'ensemble des quantités complexes les quantités réelles, les expressions de la forme bi que l'on appelle purement imaginaires et enfin le symbole / lui-même que l'on appelle Vunité imaginaire.

Les quantités réelles rentrant maintenant dans les quantités complexes, il faudra prendre soin, dans les définitions suivantes, de n'introduire aucune rèj^lc (|ui contredise celles déjà établies jjour les quantités réelles.

La règle II montre qu'une quantité imaginaire n'est nulle ou égale à zéro que si l'on a séparément :

La (luantité réelle et positive sja^ -\- b- s'appelle le module de la quantité (a h bi) et se représc^ite par \ a -\- bi \ . Un nombre complexe est nul si son module est nul et seulement dans ce cas.

41. L'addition et la multiplication sont définies par les équations

(\) (a + bi) 4-- (a' + b'i) =. (a f a') + (6 + h')i,

(VI) (a + bi) (a' + b'i) -= (aa' — bb') -f (a// 4- ci'b)i,

que l'on est en droit de poser, car elles se réduisentàdes identités quand leurs termes sont réels. Donc la somme et le produit de deux nombres complexes sont de nouveaux nombres complexes entièrement déterminés. Il est à peine nécessaire de faire remarquer que ces définitions sont faites de manière à conserver les propriétés commutative, associative et distributive, qui correspondent aux relations :

aux relations analogues dans la multiplication et à l'équation

a([3 + y) = afi + ay.

Les équations V et YI donnent lieu à des cas particuliers remarquables :

i" Eu égard à II et III, l'équation V montre que a -\- bi est la somme des deux nombres a et bi. Le nombre a est la partie réelle de a + bi et le nombre bi est sa partie imaginaire.

2° Eu égard à IV, l'équation VI montre aussi que bi est le produit des deux nombres b et /.

Il résulte de là que l'emploi des signes d'opération dans la

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notation du nombre complexe a -I- bi ne peut prêter à aucune confusion.

3° Si l'on fait, dans l'équation VI, a -= a' --- 0 et h = h' = i, elle se réduit à

Donc tous les calculs relatifs à l'addition et à la multiplication des quantités complexes pourront se faire par l'application des règles du calcul algébrique habituel, à condition de traiter le symbole / comme une quantité dont le carré serait égal à — I. Cette propriété explique comment il se fait que le nombre i se soit introduit en algèbre sous la forme sj — i. L'usage que l'on a fait de cette notation sans la définir a fait considérer parfois l'existence des quantités complexes comme une sorte de paradoxe.

4° Si l'on fait, dans l'équation VI, a' = a et b' — — b, elle donne

(a + bi) (a — bi) -^ a^ + bK

Deux quantités complexes qui ne diffèrent que par le sig*ne de la partie imaginaire sont dites conjuguées. On voit que le produit des deux quantités conjuguées est réel et positif et égal au carré du module de chacune de ces deux quantités. La quantité a^ -f b- s'appelle aussi la norme de la quantité complexe a ± bi.

42. La soustraction et la division sont, par définition, les opérations inverses de l'addition et de la multiplication.

Soustraire (a' + b'i) de (a -f- bi) c'est déterminer le nombre .V -f- yi qui vérifie la condition

(a -f bi) ^ (a' + b'i) + (x + yi) = (a' + .v) + {b' + y)i.

Ce nombre .v -f- yi se représente par (a -f- bi) — (a' + b'i). On aura doue, par la définition de l'égalité,

(VII) (a + bi) - (a' + b'i) = (a - a') ^ {b - b')i

et cette équation définit la soustraction.

Diviser (a 4- ^0 par (a' + b')i c'est trouver un nombre .v -\- yi appelé quotient qui vérife la condition

(a + bi) ^ (a' + b'i) (X + yi),

ou, en multipliant les deux membres par a' — b'i^

4f> NOMBRES COMPLEXES

(a + bi) (a' - h'i) = (a" + b'^) {x + vO-

Le (iiiotient se représente par -, , — ^r^ Bt l'on a ^ a -f //f

Cette équation définit la division. Elle montre que la division est toujours possible et conduit à un résultat unique et bien déterminé pourvu que le diviseur ne soit pas nul.

43. Théorème, — Si, dans une somme, un produit, une différence, un quotient de nombres complexes, on remplace chaque terme pur son conjugué, les résultats seront aussi remplacés par leurs conjugués. C'est ce qui résulte immédiatement des formules précédentes. Donc, dans toute relation entre quantités complexes (jui ne comporte (jue les quatre opérations rationnelles, il est permis de remplacer i par — i.

Soit, par exemple, l'équation

(a + hi) (a' -\- h'i) -= {aa' — hh') -f- / {ah' + ba') ;

en la multipliant membi-e à membre avec sa conjuguée, on trouve

(a2 + />2) (a'2 + b") = {aa' — hh'y + {ab' + ba'y

Donc le module (la norme) d'un produit est égal au produit des modules (des normes) de cha(jue facteur.

On conclut de là qu'un produit de plusieurs facteurs s'annule seulement si l'un des facteurs est nul.

44. Théorème. — Le module d'une somme ne peut })as surpasser la somme des modules de chaque terme.

Ce théorème se vérifie d'abord pour les deux nombres i et (a -f- bi). c'est-à-dire que l'on a

I -h \/a' + />' ^ V(i + a)' + b\ Ku (Mfel, élevée au carré, cette relation revient à la suivante i> \/a- -h b' J> 'la,

([ui est apparente et dans laquelle l'égalité ne peut avoir lieu que si h est nul et a positif, donc a + bi réel et positif.

Ensuite la démonstration s'étend au cas général. En effet, soient a et a' deux nombres différents de zéro, et {3 leur quotient a' : a ; on a

I ^- I + 1 ^-' I - I '- I (I + I M ) I a + a' I -- I a I | I -j- fi | .

Donc I a -f a' | sei'a inférieur à | a | + | et positif.

D'autre part, le module d'une somme est au moins égal à la différence des modules de ses deux termes, car les deux relations

se ramènent l'une à l'autre i)ar le cliangement de a en a ^ a'. ■

45. Représentation géométrique des quantités complexes. — La quantité complexe (a + ^0 se représente géométriquement ])aiune droite de longueur et de direction déterminée, menée à partir d'une origine arbitraire, et ayant comme projections suivant deux axes rectangulaires les quantités a et b.

Si cette droite est menée à partir de l'origine des coordonnées, son extrémité M a pour coordonnées rectangulaires a et b. Le point ]\I s'appelle Vaffixe (Cauchy) de la quantité complexe et peut aussi lui servir de représentation géométrique.

Les coordonnées polaires r et 6 de l'affixe M jouent un rôle important dans l'étude de la quantité complexe. Elle sont définies par les relations a = /• cos 6, b ^ r sin 0 ; d'où

/• .-= Wa-^ + b', cos e - ^, sin 9 = ^.

Le rayon vecteur /• est le module de la quantité complexe. L'angle 9 s'appelle sou argument, il n'est déterminé qu'à un multiple près de tm quand a et b sont donnés.

Cette représentation géométrique et la considération du module et de l'argument ont un intérêt particulier dans les diverses opérations précédemment définies.

La somme de plusieurs nombres complexes est représentée géométriquement par la résultante des droites représentatives de ses termes.

Si l'on fait le produit et le (luotient de deux nombres complexes

a + 6/ = r (cos 9 -|- i sin 9) a' + Z>'z = r' (cos 9' + / sin 9'),