VARIABLES COMPLEXES

on trouve, par les propriétés connues des fonctions trigonométriques,

(a f /;/) (a' + b'i) = rr' ! cos (0 -| H') + i sin (8 f h%

S -fh<^ -*')+-"'(* -*■)]■

Donc le module d'un produit est égal au produit des modules de ses facteurs et son argument à la somme de leurs arguments ; le module d'un quotient est égal au quotient des modules de ses deux termes et son argument à la différence de leurs arguments.

§ 7. Variables complexes et fonctions rationnelles d'une variable complexe.

46. Variables complexes. — Si .y et y sont deux variables réelles, .v -f yi est une variable complexe.

Si X et y ont respectivement pour limites a et b, on dit que .Y -|- yi a pour limite a \- bi et l'on écrit

lim (x -\- yi) = a -i- bi.

La condition nécessaire et suffisante pour <jne .\ -\- yi ait pour limite a + bi est que la (juantité

i {X + yi) - (a + bi) i =-- \/{x - aY + {y - b)^

ait pour limite 0.

Cette condition est suffisante, car, si ce radical tend vers zéro, chacune des quantités de valeur absolue moindre (.y — a) et (y — b) aura pour limite 0. Elle est nécessaire, car ce radical tend aussi vers 0 avec {x — a) et (y — b).

lue critère de convergence dp Caucliy (n"^ i6) s'étend de luimême aux variables complexes.

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une variable complexe z qui passe par une succession illimitée de valeurs ait une limite finie, est qu'à tout nombre positif donné z, corresponde une valeur de z- (]ui diffère de moins de e de toutes les suivantes.

Les principes généraux relatifs à la limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient de variables réelles (n** i8) s'appliquent évidemment aussi aux variables complexes.

Une variable complexe qui a pour limite 0 est dite infiniment

petite. Pour qu'une variai)! o complexe soit infiniment petite, il est nécessaire et suffisant que son module soit infiniment petit.