TORSION

Observons que l'on peut remplacer dans le dernier membre de cette suite d'égalités X, Y, Z par les quantités proportionnelles A, B, C et que les dénominateurs des autres membres sont respectivement \s', ijls', vs', car des égalités entre cosinus directeurs de directions rectangulaires

).a + [ji[3 4- vy = 0, XX -f ;;lY -\- vZ -= 0,

on tire, grâce à la convention sur le sens de la binormale,

1 |Jl V X2 -f {Jl-2 4- V2

vY^^Z ~ aZ — yX ~ ^X — oY" "~ 1 al3^'T~ ~' ^'

X {JL V I

I XYZ I d'où

Yz' — Zy' = s'(yY — ;3Z) ^ Is' , etc....

Il vient par ces substitutions

Xs' ~ lis' ~ vs' ~ A- +" B2 4- C^ '

en posant en abrégé

(18) D == Ax'" + By'" + Cs"' = x" y'' z"

I A'"' y'" z'" I En vertu de la formule (17), chacun des rapports égaux X' : Is', Y' : lis', Z' : vs' est encore égal, au signe près, à

yx'- + Y'^ + Z" I

s'\/XM-F^'+^^~ T' Xous conviendrons de donner un signe à la torsion et de choisir ce signe de manière que chacun des rapports précédents soit égal, même en signe, à i : T. Nous avons ainsi le système de formules :

^^ Xs' IJ.S' vs' T A-4-B2 + C2'

La dernière montre que T s'exprime rationnellement en fonction des coordonnées du point M, ce qui n'avait pas lieu poui- le rayon de courbure. Le signe de la torsion est indépendant du sens dans lequel ou compte les arcs puisque la dernière formule est indépendante de s'.

La dernière formule montre que la torsion s'annule avec le déterminant D. On appelle plans oscillateurs stationnaires ceux qui sont menés aux points où D = 0.

322. Théorème. — La droite, intersection du plan oscillateur en yi (supposé non stationnaire) avec le plan oscillateur en un point infiniment voisin M', a pour limite la tangente en M.

Commençons par une remarcxue préliminaire. On a

BC' — CB' = B{x'y"' — y'x'") — C{z'x"' — x'z"') - A''(Bj''' + C^'") — x"{liy' + Cz').

Mais Bj-' + Cs' = — Ax' ; il vient

BC — CB' - a:'(A.v"' ^ By'" + Cs'") = D.v'.

On en déduit par permutation circulaire les deux formules analogues :

CA' — AC - Dy', AB' - BA' =-- J)z\

Donc, en un point ordinaire où D n'est pas nul, une au moins des trois quantités BC — CB',... est différente de 0.

Arrivons maintenant au plan osculateur. Considérons .y, y, z et A, B, C comme des fonctions de t définies sur la courbe et posons (^, Tj, "(^ étant indépendants de t)

Les équations des plans osculateurs aux points M et M' de paramètres t Qt t -\- ^t seront

Les coordonnés l, tj, ^ de l'intersection de ces deux plans vérifient ces deux équations à la fois, donc aussi leur différence AO) = 0 et aussi A<I> : Af = 0. Quand M' tend vers M, Af tend vers 0 et \, -n, "Ç vérifient le système

^{t) -^ A(; - X) + B(r. - y) -f C(^ -z)^0, ^\t) ^ AXi - X) + B\r, - y) + C(Ç - c) = 0,

car <i>'(0 se simplifie par la relation Ax' -\- By' + Qz' = 0. Mais en vertu de notre remarque préliminaire, ce système peut être résolu par rapport à (^ — .v),... et on en tire, en vertu des relations BC — CB' = T>x',...

l — x^'n — yj^ — z

T>x' Dy' Dz' '

Ce sont les équations de l'intersection-limite (D n'étant pas nul) et elles se confondent avec celles de la tangente.