Aire de la conchoïde : r ==^a sec ^-\-b
5. Aire de l'épicycloUe. — On a indiqué (p. 3o2, exercice 4) les équations de l'épicycloïde engendrée par le roulement d'un cercle de rayon b sur un cercle de rayon a. Dans ces équations, le paramètre t désigne l'angle dont le point de contact a tourné sur le cercle fixe. On peut aussi prendre comme paramètre l'angle 6 dont ce point a tourné sur le cercle mobile. On a. at=^ M). En posant b : a = q, les équations de l'épicycloïde s'écriront
— == (i + g) cosqd — q cos (i + ^)f), — = (i + (?) sin^O — q sin (i + 0)6.
L'aire d'un secteur se détermme alors par la formule (5) du n^ 333 ; on trouve
S =-«2^ (i + <7) (i + 2?) fV + cos 0) ^e = — («2 + 3fl6 + 2*2) (0 + sin 0) 2 jo ■za
Si 6 ^= 2^, on obtient l'aire du secteur limité par une arcade entière de la courbe. Pour obtenir l'aire de l'arcade elle-même, il faut encore
retrancher l'aire d'un secteur du cercle fixe dont l'arc est 2-b ; il restera
7rô2
6. Hypocycloïde. — Les équations de l'hypocycloïde s'obtiennent en remplaçant dans les précédentes q par — q. Problèmes analogues aux précédents.
7. Courbes unicursales. — -Les coordonnées ;tr et v d'une courbe unicursale peuvent s'exprimer en fonction rationnelle d'un paramètre t. Donc la quadrature de ces courbes dépend d'une intégrale rationnelle et peut toujours se faire sous forme .finie. Dans le cas particulier où le paramètre t est égal ky ; x, on a xy' — yx' = x^. L'aire d'un secteur se calculera par la formule (5) du 11° 333, qui prendra la forme simple
x^dt.
Appliquer cette formule aux cubiques unicursales suivantes, dont les coordonnées s'obtiennent immédiatement en fonction rationnelle
de#=^-:
X (x^ -{-y'^) = 2ay'- (cissoïde),
{x + a) (*2 -\-y-) = 3ay'~ (strophoïde),
x^ -|-j/3 == ^^xy (FoUium de Descarte).
§ 2. Rectification des courbes.
337. Courbes rectifiables. Rectification des courbes planes. — La longueur d'un arc de courbe entre deux points extrêmes est, par définition (n^'* 286 et 3o6), la limite (supposée finie et déterminée) du périmètre d'un polygone inscrit dans la courbe et dont tous les côtés tendent vers zéro. Cette limite n'existe pas toujours et l'on appelle rectifiables les courbes dont l'arc a une longueur finie et déterminée. Nous renverrons au paragraphe suivant pour l'étude des caractères les plus généraux des courbes rectifiables et nous nous bornerons ici aux conditions sur lesquelles nous avons fait reposer les formules des u°^ 286 et suivants.
Considérons d'abord une courbe plane, ayant pour équation
y = fV-) ;
. la longueur de son arc depuis un point fixe M^, d'abscisse Xq jusqu'au point variable M d'abscisse x, s'évalue pour la formule (n° 287)
(1) s = \dx\/i + y'~.
Mo
RECTIFICRTION DES COURBES 869
Les formules de rectification (^ui conviennent aux autres formes d'équations s'obtiennent en changeant de variable dans l'intégrale définie
'' ds.
Dans le cas d'une représentation paramétrique, on prend t comme variable ; on sait (n° 287) que ds ■= dt sjx'- + y'^. Donc, to et t désignant les paramètres des extrémités, l'are aura pour mesure
(2) s == Çdt \Jx'-' 4- r''.
Dans le cas des coordonnées polaires, ds = \Jdr^ -f r'^dO-. Soient (vo, 60), (/", 6) les extrémités de l'arc à mesurer. Il vient, suivant qu'on prend 6 ou r comme variable.
338. Exemples de rectifications (coordonnées rectangulaires). — I. Chaînette. Ou a, dans ce cas (n" Soi, V),
Calculons l'arc à partir du sommet A où a" = 0, la formule (1) donne
II. Parabole. Prenons l'axe de symétrie x^our axe des y et le sommet pour origine. On aura
Donc l'arc compté à partir du sommet, a pour mesure
s == - dx\/x^-\- j)".
pJo
En remplaçant a^ par — p- dans l'intégrale indéfinie calculée au n° 332 à l'occasion de l'aire de l'iiyperbole, il vient
dxsjx^ + p^ = '^\Jx" + p' + V ^^^ë (-^^ f V-^' + P')'
De là, la valeur de s
III. Cycloïde. Considérons la représentation paramétrique liabitnelle
a: = a{t — sin t). y = a (i — cos t).
L'arc, compté à jjartir de l'origine où ^ = 0, a pour mesure
s = a \dt \'{i - cos ty + sin27 = 2a C sin ^ dt = 4a f^i — cos -\
Jo .'j - V ~J
339. Intégrales elliptiques de Legendre. Rectification de l'ellipse et de l'hyperbole. — I/arc de ces deux courbes s'exprime par des intégrales que l'on ne peut ]3as réduire aux fonctions élémentaires, mais on peut les ramener aux deux intégrales définies suivantes :
Jo \ I — k^sin^o .0
où le paramètre A- est < i. Legendre a donné à ces intégrales le non) à' intégrales elliptiques à.e première et de seconde espèce. On a dressé des tables qui permettent de les calculer pour les diverses valeurs de z, et A'.
Les intégrales sont dites complètes si c^ = - ; elles se désignent par
F:(A-)=f'' %-.^^, E,(A-)^f^d'^vF=Â-^sInY.
.0 Vi— A-sm-cp .'0
Arc d'ellipse. Soit la représentation paramétrique
A" = a sin Ci, V = b cos '^.
L'arc B\r, compté à partir du sommet B du petit axe où ç: =^ 0, a pour mesure
s = dç; j ' \/x'-4-3-'^ = I ' d'^\la^ cos^ cp + b- sin- o.
L'arc d'ellipse dépend de l'intégrale ellii^tique de secondé esx)èce. Posons, en effet. A'- = (a'^ — ft^) : a" ; il vient
\/a' cos- z -f b- sin- o == a\/i — A'^ sin^ cp, d'où .s- -- aE(A, cp).
