RECTIFICATION DES COURBES

Si (p -=^ :r : 2, l'intégrale est complète et l'arc égal au quart du périmètre de l'ellipse. Le périmètre total sera donc ^a ^i{k).

Arc d'hyperbole. On peut prendre comme représentation paramétrique de l'hyperbole rapportée à ses axes, le système

X = —. , Y = b cot (p.

car, en éliminant (p, on retrouve l'équation classique de la courbe. L'arc AM, compté du sommet où «p == - jusqu'à un point M

ou (p est < -, a pour mesure

Une intégration par parties et une décomposition donnent facilement

,- -, rr C^ a'

= cot (p va- cos- (f^ + b'- — ^=

Sja.^ cos cp + 62

cot cp Va-cos^çp +6-— I ^ c/cp Va^ cos^ 9 + 6^+ 6^ j ^ ya^cos^cp+è^* Posons k^ = a^ : (a' -f 6^), d'où

\Ja^ cos^ y -|- 6^ c= ~~\/i — A-2 sin^ cp ; l'arc s dépend des intégrales elliptiques par la formule s = cotç>V^^ol^q^2-|[E,(A-)-E(A-,cp)] + ^[F,(A-)-F(A-/f)].

340. Exemples de rectifications en coordonnées polaires. — Spirale LOGARITHMIQUE : r = ac"*^^ . Prenons r comme variable indépendante ; nous aurons m9 = Log r — Log a, d'où

ds'

^ dr-

.vî

J. -r ni

'-dr

= Vi

+ in' m

Donc rare de la spirale logarithmique varie proportionnellement au rayon vecteur. Le pôle est un point asymptotique de

la courbe, car ;• ne s'annule qu'en faisant tendre 6 vers — 00. L'arc-limite, compté de ce point, conserve néanmoins une valeur finie :

II, Spirale d'Archimède : ;■ = aO. L'arc compté à partir du pôle a pour valeur, en intégrant par rapport à /',

("est la même intégrale que celle à laquelle conduit l'évaluation de l'arc de la parabole (n° 338). De là, le théorème de Grégoire de Saint Vincent : Les arcs de la parabole x^ = 2ay et de la spirale r -= aO ont même longueur, quand on compte le premier entre les abcisses 0 et x et le second entre les rayons r = 0 et r= x.

m. Lemniscate : r'~ ^ a^ cos 2h. Si l'on prend r comme variable indépendante, on a

y == arc cos ^-, ^— =

2 a' dr \/a' — r''

L'arc compté à partir du sommet, où r =^ a, a donc pour mesure

ra I / fUi \ 2 l'a dr

Cette intégrale se ramène à Vintégrale elliptique de première espèce (n° 339) en posant r = a cos ç> ; il vient ainsi

f ? sin o d(p

Donc s = ^F i ~^^, C2

josji — uu»-y ,u yi -r eu»-cf V^''" * /r — l-sin^m

341. Rectification des courbes gauches. Exemple. — Lorsque les coordonnées rectangulaires x, y, z d'un point de la courbe sont considérées comme fonctions de t, la longueur de l'arc AB, compris entre les point dont les paramètres sont a et f>, a pour mesure

.s= ^\lt s^/x'-' 4- y'-^ + z'-^.