RECTIFICATION DES COURBES

Comme exemple, considérons l'intersection des deux cylindres :

Prenons a* comme variable. On tire de la première équation b^,-ô r . b X

et de la seconde

z.^a Log ^4 ,

Comptons l'arc à partir du point où x =^ a ; il viendra

P, ,-^ — -ir-^^9 vâM^^r -^^-v V/aM- ^ -7, 5-

J« a *rt y.-x;2 — a^ a

Exercices

I. Epicycloïdes. — Les équations de l'épicycloïde sont (Exercice 5, p. 367) ■■

~ = {i -\r q) cosf/O — q ces (i +{7)0, - = (i + q) sin (/O — q sin (i + q)^. a a

On en tire

ds , , . . 0

— = 2(7(1 +^) sm-.

L'arc compté à partir du point de rebroussement où 0 == 0, sera

-^ =2^(1 +'7)('i— cos -j.

Toutefois, comme l'élément ds doit être positif, cette formule n'est applicable que si 0 varie de 0 à 2'?^. Si 6 = 2'jr, on obtient le périmètre d'une arcade entière

L'arc d'épicycloïde s'exprime algébriquement en fonction du rayon vecteur r. On a, en eftet,

y2 = xi + j/2 -- (i + 2<7)- — 4^7 (i + q) cos2 -,

d'où l'on tire cos - et, par suite, 5 en fonction de r.

En changeant g en — ^ dans les formules précédentes, on obtient des résultats correspondants pour Vhypocycloïde.

Les rectifications de la cardioïde (Exercice 6, p. 3o3) et de Vastroïde (Exercice 3, p. 322) sont des cas particuliers des précédentes.