Courbes gauches. — Arcs des deux courbes suivantes

y = — , z = -r—, et ;v = rt sin-, ^= — Log .

2rt oa- a 4 a — x

R. L'arc compté de l'origine a pour valeur s^ x A^ s pour les deux courbes.

§ 3. Courbes continues. Courbes fermées.

342. Lignes continues. Contours fermés. — Considérons deux fonctions contmues de t :

et faisons varier i de ti à. T ; le point {x, y) décrit une courbe plane continue ti T.

Si le point M revient à son point de départ pour t= T, la courbe est fermée. Si x et y ne reprennent le même système de valeurs que pour les valeurs extrêmes de /, la courbe ne se coupe pas elle-même et nous dirons qu'elle forme un contour fermé simple ou encore qu'elle est sans point fnulfiple.

La distance d'un pon:it fixe A (:, t,) au point M (x y) d'une ligne con tinue est une fonction continue de t. Si le point A n'est pas sur la courbe, cette fonction ne s'annulera pas ; elle admettra un minime différent de zéro qu'elle atteindra pour une certaine valeur de t et que nous appellerons la distance du point A à la courbe.

Si le point A n'est pas fixe, mais seulement assujetti à se trouver sur une courbe continue : = ^{u), t, = W{u), la distance des points A et M est fonction continue de t, u. Si les courbes ne se rencontrent pas, le minime de cette distance sera différent de zéro et s'appellera la distance des deux courbes.

La distance maximée de deux points d'une même courbe s'appelle son diamètre (n» 55).

Nous nous proposons d'étudier les propriétés fondamentales des courbes fermées. Il est commode pour cela d'analyser les propriétés de ce que nous appellerons une chaine de régions du plan.

CONTOURS FERMÉS SyS

343. Définition et propriétés des chaînes. — Nous appellerons chaînon une région du plan, d'un seul tenant (ne 72), limitée par un contour polygonal extérieur sans point multiple et éventuellement percée d'un certain nombre de vides limités par des contours de même nature que le premier.

Considérons un certain nombre de chaînons consécutif s , désignés par leur numéro d'ordre : (i), (a),.-- («)• Si deux chaînons consécutifs ont des points ou des parties communes, tandis que deux chaînons non consécutifs ne se touchent pas, ces chaînons constituent une chaîne ouverte. Les chaînons extrêmes (i) et («) ne se touchent donc pas.

Mais on peut aussi supposer que (i) et («) se touchent, les autres conditions restant les mêmes. Alors (i) et («) deviennent aussi consécutifs, il n'y a plus de chaînons extrêmes et la chaîne est fermée.

Le domaine contenant tous les points d'une chaîne ouverte, que nous appellerons aussi, en abrégé, la chaîne, est donc, comme les chaînons eux-mêmes, un domaine d'un seul tenant limité par un contour polygonal extérieur unique et percé d'un certain nombre de vides.

Nous dirons, en abrégé, qu'une région du plan est intérieure à un chaînon ou à une chaîne ouverte si elle est enfermée dans leur contour extérieur, abstraction faite des vides.

Une chaîne sera régulière si un chaînon ne peut être enfermé dans un autre, ni dans un groupe de deux autres pris dans la chaîne et nécessairement consécutifs.

Théorème L — Si une chaîne fermée (i), (2),... («) est irrégulière, elle est intérieure â une chaîne de quatre au plus de ses chaînons.

Puisque la chaîne est irrégulière, elle contient un chaînon intérieur à un ou à deux autres. Le second cas comprenant le premier, supposons que les chaînons enveloppants soit (i), (2). Si le chaînon intérieur, (3) par exemple, est contigu au groupe, tous les suivants de (4) à {n — i), qui ne touchent ni à (i) ni à (2), sont enfermés avec (3). Si c'est un chaînon {k) non contigu qui est enfermé dans (i), (2), toute la chaîne (4),... {n — i) qui contient (â) est enfermée avec (^),pour la même raison. Toute la chaîne est donc, quoi qu'il arrive, intérieure à (n), (I), (2). (3).

Théorème IL — Tout vide d'une chaîne ouverte est dans l'intérieur d'un groupe de deux consécutifs des chaînons.

Montrons que le théorème, évident par une chaine de 2 chaînons, subsiste pour une chaîne de k, s'il est vrai pour une chaîne de ^ — i.

Soit C le contour extérieur de la chaîne (i), (2),... {k — i). Ajoutons le chaînon {k). Celui-ci se compose d'une partie {k') intérieur à C et éventuellement d'une partie extérieure {k"), qui peuvent être chacune de plusieurs tenants. L'addition de {k') ne fait que réduire des vides pour lesquels le théorème est déjà vérifié. Il ne reste plus que (^") à considérer.

Supposons donc qu'un vide se produise entre C et la frontière de {k"). Je vais montrer qu'il est intérieur au groupe {k — i), {k), et, à cet effet, que toute ligne L allant d'un point du vide à l'infini sans toucher [k), coupe {k — i).

La ligne L sort du vide par une frontière sur C, dont les deux extrémités, touchant à {k), sont deux points A et B de (^ — i). La ligne L scinde au moins en deux morceaux le domaine intérieur à C qui ferme le vide de manière à séparer A de B. Donc {k — i), qui est tout entier dans l'intérieur de (C), n'est pas tout entier dans le même morceau et il est scindé par L.

Théorème IIL — Le contour extérieur unique d'une chaîne régulière ouverte touche à tous les chaînons, tandis que le contour d'un vide en touche au plus quatre.

Les chaînons qui touchent au contour extérieur forment à eux seuls une chaîne, ouverte comme la proposée. Cette propriété subsiste si l'on découpe dans l'intérieur de la chaîne (pour en faire des vides) tous les chaînons qui ne touchent pas au bord, s'il y en a. Donc (Théor. II) tout chaînon supprimé est intérieur à deux chaînons du bord, de sorte que, s'il y en avait, la chaîne serait irrégulière. Donc le contour extérieur d'une chaîne régulière ouverte touche tous les chaînons.

Par contre un vide, étant intérieur à deux chaînons consécutifs, ne peut être bordé que par ceux-ci et leurs deux contigus, les seuls qui ne soient pas extérieurs aux deux premiers.

Théorème IV. — Dans une chaîne régulière ouverte de cinq chaînons au moins, un vide ne feut toucha' en même temfs aux deux chaînons extrêmes.

En effet, il toucherait alors à tous les chaînons, donc à plus de quatre, ce qui est contraire au théorème III.

Passons maintenant à l'étude d'une chaîne fermée. Cette étude est simplifiée par un artifice qui la transforme en chaîne ouverte.

Soit (i), (2),... (n) une chaîne fermée régulière, de cinq chaînons au moins. Nous commencerons par remplacer le groupe des trois premiers chaînons par un autre plus simple de même contour extérieur.

Soient C le contour extérieur du groupe (i), (2), (3) et D le domaine intérieur à C. Comme (i) et (3) ne se touchent pas et sont extérieurs l'un à l'autre (puisque la chaîne est régulière), on peut partager D par deux transversales en trois morceaux, (I), (II) et (III), le premier contenant tout (i) sans toucher à (3), le troisième tout (3) sans toucher à (i) et le second contenant le reste (*).

(*) Par exemple, on pevU procéder de la manière suivante. On considère D comme partagé en morceaux par les frontières extérieures seules des chaînons (i) et (3). On attribue à (I) les morceaux qui ne touchent pas (3), à (III) ceux qui ne touchent pas (i), et le reste à (II).