CONTOURS FERMÉS

Nous avons ainsi constitué une nouvelle chaîne fermée régulière

(1) (II) (III) (4)... [n) du même nombre de chaînons que la première ; seulement (I) et (II) ne se touchent plus que le long d'une frontière commune d'un seul tenant, que nous désignerons par ses extrémités, ab.

Pour ouvrir cette chaîne, il suffit de considérer la transversale ab comme une coupure disjoignant (I) de (II). A cet effet, attribuons deux côtés à cette ligne l'un a'b' servant de frontière à (I), l'autre a"b" servant de frontière à (II) et considérons la ligne ab elle-même comme extérieure à la chaîne. Alors (I) et (II) sont deux chaînons extrêmes et la chaîne est ouverte.

Soit P le contour extéri.eur de la chaîne ouverte. Ce contour emprunte les deux frontières a'b' et a"b". En effet, dans le cas opposé, contrairement au théorème IV, ces frontières prises sur chacun des chaînons extrêmes borderaient un même vide, car on va de l'une à l'autre en traversant la coupure (donc sans entrer dans la chaîne).

Faisons le tour de P dans un sens déterminé (laissant, par exemple, l'intérieur à gauche). Comme a'b' et a" b" sont alors parcourus en sens contraires, le circuit se compose de a'b', de a"b" et de deux polygones Pi et Po reliant respectivement a' à a" et b" à b' et passant chacun par tous les chaînons intermédiaires de la chaîne (I),... (II) ; donc passant aussi chacun par tous les chaînons (i), (2),... {n), car a et b sont sur

(2) et l'on ne passe de (III) à (4) que par (3), et de (I) à {n) que par (i).

Supprimons maintenant la coupure ab, ce qui revient à souder a'b' et a"b" ; la chaîne se ferme ainsi que Pi et Po, et elle est enserrée entre ces deux po]3'gones, dont l'un sera, par conséquent, intérieur à l'autre. Nous donnerons à la couronne comprise entre eux le nom d'anneau.

La chaîne (I), (II),... ne diffère de (i), (2),... que par la suppression des vides du groupe (i), (2), (3). Rétablissons ces vides et appliquons, d'autre part, le théorème II à la chaîne ouverte par la coupure. Nous obtenons le théorème suivant :

Théorème V. — Une chaîne fermée régulière de einq chaînons au moins se constitue d'un anneau, intérieur à un polygone P\ et extérieur à un polygone P2 contenu dans l'intérieur du premier. Outre la région qtiil entoure, cet anneau peut être percé de vides. Mais ces derniers sont chacun intérieur à un ou à deux chaînons consécutifs et en touchent quatre au plus. Au contraire, les régions intérieure et extérieure à l'auneau touchent chacune, l'une par Pi, l'autre par P^, à tous les chaînons.

344. Propriétés des contours fermés, — Théorème I, — Un contour fermé simple peut être enfermé dans une chaîne fermée régulière dont les chaînons sont de diamètres (*) aussi petits qu'on veut.

(*) Kca:t maxime de deux de ses points (n° 55 j

Donnons-nous un S positif inférieur au quart du diamètre du contour. Supposons ce contour décrit par le point x, y quand i varie de ^1 à T. Partageons le contour ^iT en tronçons consécutifs par les points ti, t-i,... t„, T, suffisamment rapprochés pour que le diamètre de chaque tronçon soit < 0 : 2. Soit alors ô' la plus petite des distances de deux tronçons non consécutifs. Couvrons la courbe d'un réseau à mailles rectangulaires formé par des parallèles aux axes coordonnés, suffisamment rapprochées pour que chaque maille soit de diamètre < 0' : 2. Cela fait, constituons chaque chaînon des mailles touchées par un même tronçon et soient respectivement (i), (2),... («) les chaînons construits sur tii-2, hts,... t„T. Ces chaînons forment une chaîne fermée, car deux chaînons consécutifs (^a— 1) et {tk) ont en commun le point tk. Le diam.ètre d'un chaînon ne surpassera pas S : 2 + °' donc S, car ô' ne peut surpasser le diamètre ô : 2 d'un chaînon. Enfin cette chaîne est régulière, sinon elle serait intérieure à quatre chaînons et son diamètre serait <4o, donc inférieur à celui de la courbe. Ceci est évidemment impossible puisque la courbe est contenue dans la chaîne.

Le vide entouré par l'anneau touche aux chaînons les plus écartés, il sera de diamètre supérieur à 40 — 20 ou 20. Au contraire, les vides de l'anneau lui-même sont intérieurs à deux chaînons, ils seront de diamètre < 20. Pour construire l'anneau, il suffit donc d'hachurer toutes les mailles du réseau rencontrées par la courbe et tous les vides sauf un, celui dont le diamètre est > 20 et qui constitue la région intérieure à l'anneau.

Théorème IL — La courbe étant enfermée dans cette chaîne dont les chaînons sont de diamètre < 0, tout point de la courbe est à une distance < 0 de chaque bord de Vanneau et tout point de l'anneau est à une distance < ô de la courbe.

La première proposition est immédiate puisque tout point de la courbe est dans un chaînon de diamètre < 0 qui touche aux deux bords de l'anneau. D'autre part, il est non moins évident que tout point intérieur à un chaînon est à une distance < 0 de la courbe. Mais je dis que c'est encore vrai pour un point/" qui tombe dans une lacune de l'anneau, intérieure à deux chaînons consécutifs [k — i) et {k). Ceux-ci ont en commun le point tk. Joignons tk à. p par une droite et prolongeons celle-ci : elle rencontrera l'un des deux chaînons {k — i) ou {k) qui enferme p. Comme tk est dans les deux, la distance tkP est inférieure au dramètre 0 du chaînon recoupé.

Théorème II L — Tout courbe fermée sans point multiple décompose le plan en deux régions, l'une intérieure et l'autre extérieure à la courbe. (C. Jordan).

Soient p un point non situé sur la courbe, 0 sa distance à la courbe. Construisons un anneau dont tous les points soient à une distance de la courbe moindre que 0 ; le point />, étant exclu de l'anneau, tombera à l'intérieur ou à l'extérieur de l'anneau. Nous dirons dans le premier cas qu'il est intérieur à la courbe, dans le second qu'il est extérieur.