CONTOURS FERMÉS

Cette distinction ne dépend aucunement de la manière de construire l'anneau, mais correspond à des propriétés distinctives par rapport à la courbe. En effet, si le point p n'est pas entouré par l'anneau, il est possible de tracer une ligne polygonale partant de p et s'éloignant à l'infini sans rencontrer la courbe. Cette possibilité disparaît dès que le point est entouré par l'anneau. En effet, toute ligne polygonale allant de ^ à l'infini doit scinder la chaîne et, par conséquent, couper un chaînon en deux, par exemple (i), entre les deux points ^i et t^ qui l'unissent à ses voisins. Le tronçon ^1^2, qui est situé tout entier dans ce chaînon, passe donc d'un morceau dans l'autre et doit rencontrer la coupure.

L'ensemble des points intérieurs et l'ensemble des points extérieurs constituent respectivement les régions intérieure et extérieure à la courbe. I>a région intérieure ne peut pas se réduire à zéro, car on peut toujours construire un anneau. Enfin, deux points intérieurs ou deux points extérieurs peuvent toujours être réunis par une ligne polygonale qui ne rencontre pas la courbe, car on peut construire un anneau contenant ou excluant les deux points et une ligne qui les réunit sans rencontrer l'anneau.

Suivant que i varie de ^1 à T ou de T à tx le contour fermé est parcouru dans deux sens opposés. Nous appellerons sens direct celui qui laisse à gauche l'intérieur de l'anneau et nous dirons qu'il laisse à gauche l'intérieur de la courbe. L'autre sera le sens rétrograde.

Théorème IV. — Un contour fermé simple étant partagé en plus de deux tronçons consécutifs, on peut y inscrire un polygone fermé, sans point multiple, tel que les sommets se suivent dans le même ordre sur la courbe que sur le polygone et qu'il y ait au moins un sommet sur chaque tronçon.

Construisons un réseau assez serré pour qu'une même maille ne puisse s'étendre sur deux tronçons non consécutifs. Comme on peut décrire toutes les parties du contour situées dans un même maille en parcourant deux tronçons consécutifs seulement dans le sens direct, on peut assigner, sans ambiguïté, pour chaque maille mk rencontrée par le contour, en premier point d'entrée E/& et un dernier point de sortie S^.

L'indice i étant attribué arbitrairement à une première maille /«i, donnons l'indice 2 à celle où le contour pénètre au point Si, puis l'indice 3 à celle où il pénètre au point So, et ainsi de suite. Considérons la suite des mailles m^, m^,... numérotées de la sorte. Le nombre des mailles du réseau étant limité, il y a une première maille qui se reproduira dans la série. Comme on peut recommencer le numérotage en partant de celle-là, nous supposerons que ce soit la maille /«i et qu'elle se reproduise pour la première fois à l'indice w + i. Construisons le polygone SiS^... S«Si ; ce polygone répondra à la question.

En effet, les côtés de ce polygone tombent successivement dans les mailles différentes m-z, m^,... mn,mi et ne peuvent se couper. Deux sommets consécutifs S/- et S/t+i, étant sur la courbe E^+i S/t+i se suivent

dans le sens direct sur un même tronçon ou sur deux tronçons consécutifs. Donc, en parcourant la série des sommets Si, S2,..,, on parcourt successivement les tronçons dans le même sens, sans en sauter aucun, et, comme on revient au point de départ, on les rencontre tous.

Remarque. — Il résulte du théorème précédent que l'on peut inscrire, autour d'un contour fermé simple, un polygone sans point multiple dont les côtés soient aussi petits qu'on veut. Il suffît pour cela de décomposer préalablement le contour en tronçons, par des valeurs assez rapprochées de t pour que l'écart de deux points situés sur deux tronçons consécutifs ne surpasse pas la limite voulue.

§ 4. Courbes rectiflables et quarrables. Intégrales curvilignes.

345. Courbes rectiflables. — Considérons une courbe continue, définie par les deux équations (*) :

Donnons à ^ une suite de valeurs ti, t>,... /«, ^«+1 ^ T. Soient, en général, x/.Vi les valeurs de x,y pour t = t/. Le périmètre^ du polygone inscrit ayant ces points pour sommets, sera

Faisons tendre vers zéro les amplitudes de tous les intervalles {t/+i — ti). Si le périmètre du polygone ainsi construit' tend vers une limite déterminée et unique, quel que soit le mode de subdivision de l'intervalle (^1, T) en parties infiniment petites, l'arc correspondant de la courbe est rectifiable et la longueur de lare est égale à cette limite.

Pour que cette limite existe, il faut d'abord que le périmètre considéré ne croisse pas indéfiniment. Or le côté h ti-^-i est au moins égal I Xi-\-i — AT^ I et à I yi-\-i — yi \ , mais ne peut surpasser la somme de ces quantités. Pour que le périmètre reste fini, il est donc nécessaire et suffisant que les deux sommes

S I xi+i — Xi\ et 2 I V/+1 —yi |

soient bornées et, par suite, que 'f (^) et '^j{t) soient des fonctions à variation bornée dans l'intervalle (^1 T).

Cette condition nécessaire pour que l'arc soit rectifiable est aussi

(*) Si le point (.r, y) revient sur lui-même, t continuant à varier dans le même sens, il décrit une portion de courbe qui se superpose à la précédente, mais que l'on considère comme distincte.

COURBES RECTIFIABLES 38 1

suffisante. En effet, supposons-la vérifiée et désignons par L la borne supérieure des périmètres de tous les polygones possibles. Nous allons montrer que le périmètre du polygone ^i t.... tn+i T tend vers L quand l'amplitude de tous les intervalles tend vers zéro.

Pour établir ce théorème, il suffit d'observer que le périmètre p reste stationnaire ou augmente quand on intercale un nouveau sommet entre tk et tkJ^i, mais que cette augmentation, ne pouvant surpasser la somme des deux nouveaux côtés, est inférieure au double de la somme des oscillations de x et à^ y dans l'intervalle {tk, tk+i). Cette remarque est entièrement analogue au lemme du n» 87 sur lequel repose la démonstration du théorème I qui le suit. Donc en raisonnant dans le cas présent, sur /> et L comme nous avons raisonné là pour prouver que ^ a pour limite T, nous en concluons que p a pour limite L. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une courbe continue, dont les coordonnées sont des fonctions de t, soit rectifiable, est que ces fonctions soient à variation bornée (Jordan).

L'arc d'une courbe rectifiable possède les propriétés suivantes :

1° Si l'on partage un arc en plusieurs parties, la longueur totale est égale à la somme des longueurs de chaque partie.

On s'en assure par la considération des polygones inscrits dans chaque partie et dont l'ensemble est inscrit dans l'arc total.

2° La longueur s d'un arc, comptée d'un point fixe ti a un point mobile t, est une fonction continue et croissante de t.

L'arc varie en croissant à cause de la propriété précédente et sa continuité se prouve comme celle de la fonction T considérée au no 87.

3° Donc t est, réciproquement, une fonction continue et croissante de s. Les coordonnées x et y, qui sont fonctions continues de t, peuvent donc toujours être considérées comme fonctions continues de s.

4" Si X et y sont des fonctions absolument continues de t, on a, avec l'intégrale de Lebesgue, en ne considérant les fonctions que là où elles existent,

''^ dt.

donc la fonction s est absolument continue aussi. Posons, en effet,

'^,{t)=^s^{x-x,Y-\-[y-yiY.

Cette fonction est absolument continue comme x eiy, car la variation de (0/ ne peut surpasser la somme de celles de x et de j/ (*). Donc cette fonction a pour dérivée presque partout

(*) En vertu de la formule j Acp^- | ^\] ts,x^ -\-y- <C | A,r | -f- | A.V | , qui exprime que la différence, Acp^-, de deux côtés d'un triangle ne surpasse pas le troisième côté.

On a, par conséquent (no 265),

cp,.(^)= {\\t)dt<^ fv^'" +y'^ dt.

Donc, en partageant l'intervalle (;^i, t) en éléments successifs [ti, ^z+i) infiniment petits, on a

lim ^^i{ti+i) £^ [ V^'^ +3^" ^^

Cherchons maintenant une inégalité de sens contraire. Comme 5 est une fonction croissante de t, on a (n» aSg), 5' existant presque partout,

s> 1 s'dx.

Mais on peut, sans changer cette dernière intégrale, ne considérer que les points où 5', x' eiy' existent à la fois et où l'on a, par conséquent.

5' = l,m — > hm -^^ T = V'-^^ +y-'

On a donc a fortiori, ce qui achève la démonstration, 5 > I V^'^ + v'- dt.

Nous avons considéré une courbe plane, mais les conclusions s'étendent à l'espace, en introduisant une coordonnée de plus.

346. Intégrales curvilignes. — Considérons une ligne continue

^ = 'fW, y = W),

et supposons que le point {x, y) décrive un arc L quand t croît de z^i à T. Soit P {x, y) une fonction continue des deux variables x et y. Décomposons l'intervalle tiT par les points ti, to,... tk,... if«+i = T et soit G^- un point arbitraire de l'intervalle titi^^. Désignons,- en général, par Xi.yt et Çi, t,/ les valeurs de x, y aux points ti et ^i. Formons alors la somme

2 P i^.i, ^i/) {Xi+i — Xi).

(*) A cause de la relation générale ax' + by' ^ V«^ + h" \lx'~-\-y''^.