INTÉGRALES CURVILIGNES

Si cette somme tend vers une limite déterminée quand les valeurs successives de / sont infiniment voisines, c'est-à-dire quand les points successifs {x,\yi) se rapprochent indéfiniment les uns des autres, cette limite s'appelle l'intégrale de Vdx prise le long de la courbe L dans le sens ^iT, et se désigne par le symbole

^j:>{x,y)dx.

Cette expression est une intégrale curviligne. Lorsqu'elle a un sens, on dit que la fonction 'Pdx est intégrable le long de la ligne L.

Théorème I. — La fonction Fdx est intégrable sur toute ligne continue, dont l'abscisse x = ^{t) est une fonction à variation bornée, et, dans ce cas, l'intégrale effectuée sur cette ligne se . ramène à des intégrales de fonctions continues, au sens ordinaire, c est-à-dire effectuées dans un intervalle.

Nous pouvons poser x = u — s, u et z désignant deux fonctions continues de t, essentiellement croissantes (n^ 88) et qui varient de Ui k\] et de ^1 à Z quand t varie de ti à T. Mais alors t est, réciproquement, une fonction continue constamment croissante de u entre Ui et U, et aussi une fonction continue constamment croissante de z entre Z\ et Z. Donc P, qui est fonction continue de t, peut être aussi considéré soit comme fonction continue de u, soit comme fonction continue de 2. Soient Ui, zi les valeurs de u, z au point ti ; il viendra

SP (?/, r,.-) {Xi^x — Xi) = SP {Ui^, - Ui) - SP (.-,+1 - Zi).

Si l'on prend u comme variable dans la première somme du second membre, et z comme variable dans la seconde, chacune de ces deux sommes a pour limite une intégrale définie ordinaire. Passons donc à la limite dans cette équation ; nous obtenons la formule

[ I>dx= C Vdu— { P dz

Théorème II. — Si, x est fonction absohiment continue de t, on a, simplement, avec l'intégrale de Lebesgue,

{V{x,yi)dx^ { V[x, v)x'dt.

On a, en effet, dans ce cas (n" 265)

Xi+i — Xi = j X dt,

jti

par conséquent.

SP(^,, T„) (;v/+, - ,iv) - ^ P(.^, y) x' dt=y. Ç'^\P{t; -nd - F{x,y)]x'dt ;

et il suffit de montrer que cette expression tend vers zéro avec les intervalles {ti, ti+i). Or on peut supposer ceux-ci assez petits pour que

P(L, TTi/) — F{x, y) soit < £ en valeur absolue quel que soit i. Alors l'expression précédente est moindre en valeur absolue que la quantité, infiniment petite avec s,

Se Ç'^' \x' \dt=B C \x' \dL

Remarque. — L'intégrale curviligne | Ody se définit d'une manière semblable à celle de Fdx. L'intégrale plus générale,

(Pdx+Qdy),

est, par définition,, la somme des deux précédentes ; elle sera donc bien déterminée si les fonctions x et y sont à variation bornée, c'est-à-dire si la ligne d'intégration est reciifiable.

347. Coutours fermés quarrables. — Considérons un contour fermé simple C et soit A la région intérieure à C.

L On dit que la région A (ou que la courbe C) est quarrable si la borne supérieure des aires polygonales intérieures à A coïncide avec la borne inférieure des aires polygonales contenant A. Ces aires peuvent être limitées par un ou plusieurs contours distincts. Cette borne commime est l'aire de A.

Pour que la courbe soit quarrable, il faut et il suffit que, quelque petit que soit e, on puisse trouver un domaine polygonal P contenu dans A et un domaine polygonal P' contenant A, tels que P' — P soit < e. On peut toujours supposer que les contours de P et P' ne rencontrent pas la courbe, car il suffit d'une modification aussi petite qu'on veut pour réaliser cette condition.

Donc, si la courbe est quarrable, elle peut être enfermée (au sens étroit] dans un domaine polygonal (P' — P) d'aire plus petite que £.

Soit alors o la plus petite distance de la courbe C à P et P'. Tout anneau (no 344) dont les points seront à une distance < 0 de la courbe sera tout entier dans le domaine extérieur à P et intérieur à P' et son aire sera < s. Donc :

IL Si la courbe C est quarrable, elle peut être enfermée dans un atineau d'aire infiniment petite.

Cette condition est aussi suffisante pour que la courbe soit quarrable, puisque l'aire A est intermédiaire entre celles des deux contours polygonaux qui bordent l'anneau.

Couvrons maintenant la courbe C d'un réseau dont les mailles tendent vers 0, nous pouvons énoncer la proposition suivante :

IIL La condition nécessaire et suffisante pour que la courbe C soit quarrable, est que la somme des fnailles rencontrées par la courbe ait pour limite 0.

COURBES QUARRABLES 385

Cette condition est suffisante, car les mailles intérieures à A forment une aire polygonale P contenue dans A, et, en ajoutant les mailles rencontrées par la courbe, on a une aire polygonale P' contenant A, telles que P' — P tende vers zéro. Cette condition est nécessaire, puisque les mailles rencontrées par la courbe font toujours partie de l'anneau qui correspond au réseau.

IV. Le contour fermé simple x = f(0, J' ^ 'W^> ^^^^ quarrahle si x ou y est à variation bornée.

Soit tiT l'intervalle dans lequel i décrit la courbe. Décomposons-le par les points ti, t.^... ^«-i-i = T. Soient £/ et t,/ les oscillations de x etjy dans l'intervalle ti ^z+i. Le tronçon ts ^/+i de la courbe peut être inscrit dans un rectangle de côtés e,- et tj/. Par conséquent, quand les mailles tendront vers zéro, la somme de celles qui rencontrent ce tronçon aura une limite égale ou inférieure au produit s^tj^ qui mesure ce rectangle. La somme des mailles qui rencontrent le contour proposé a donc une limite inférieure à Sc.r,^-. Si x, par exemple, est à variation bornée, x est la différence de deux fonctions non décroissantes, u et z, qui varient de Wi à U et de Zi à. Z dans l'intervalle ^iT, Soit f] la plus grande des quantités r^i. On aura

S'£/ r,i < TiSe,- < T) [U — î^i + Z — Zi].

La somme des mailles rencontrées par la courbe a donc une limite inférieure à cette dernière quantité. Celle-ci peut être rendue plus petite que toute quantité donnée, car -rj est aussi petit qu'on veut avec les intervalles des valeurs de t. Donc la somme des mailles rencontrées par la courbe a pour limite zéro.

En particulier, toute courbe fermée rectifiable sera quarrahle, puisque ses coordonnées sont à variation bornée.

V. L'aire intérieure à un contour fermé simple et quarrahle C peut s'exprimer par l'une des trois intégrales curvilignes suivantes :

I xdy, — I yJx, ~ l {xdy — ydx),

effectuée sur le contour C dans le sens direct, pourvu toutefois que cette intégrale soit déterminée. Cette condition sera d'ailleurs remplie pour la première si y est une fonction de t à variation bornée, pour la seconde si x est à variation bot née, et pour toutes les trois si la courbe est rectifiable.

Considérons d'abord la seconde des intégrales proposées.

Construisons un anneau (no 344) dont tous les points soient à une distance de la courbe moindre que e. Inscrivons ensuite, tout autour de la courbe C, un polygone, sans point multiple, dont tous les côtés soient assez petits pour ne pas sortir de l'anneau (n» 344), La courbe et le polygone étant tous deux sur l'anneau, la différence des aires intérieures à l'un et à l'autre sera plus petite que celle de l'anneau et

comme on peut faire tendre cette dernière vers zéro, puisque la courbe est quarrable, l'aire intérieure au contour sera la limite de l'aire intérieure au polygone inscrit.

Soient {Xi, yi), {xz, yi),... les sommets consécutifs du polygone. L'aire S' du polygone se mesure par l'intégrale deydx effectuée dans le sens rétrograde sur le contour polygonal (no 335), ce qui revient à faire la quadrature d'une somme de trapèzes. Il vient ainsi

S' == ^ S(j)/^+i -\-yk ) {xk+i — Xk ).

Quand les sommets consécutifs se rapprochent indéfiniment, chacune des deux sommes Sy^+i {xk^i — Xk) e\. ^yk {xk+i —Xk)sL pour limite l'intégrale existante deydx effectuée dans le sens rétrograde sur le contour C. Donc la seconde intégrale proposée dans le théorème mesure l'aire intérieure au contour.

On prouve de même que cette aire s'exprime par la première intégrale si celle-ci a un sens. Enfin, si elle s'exprime par les deux premières intégrales, elle s'exprime aussi par leur demi-somme, ce qui achève la démonstration.

Remarque. — Si enfin x ou y ou bien x et y sont des fonctions absolument continues de t, on peut prendre ^ comme variable d'intégration, et l'aire s'exprime par l'une des intégrales (346, II) :

xv'dt, — yx'dt, 4" {xv'—yx')dt.

§ 5. Volume d'un solide. Aire d'une surface de révolution.

348. Volumes qui dépendent d'une quadrature. — La définition des volumes se rattache à la théorie des intégrales multiples et sera exposée dans le second volume. Nous n'étudions ici qu'un cas l)articulier. Considérons une surface dont les sections parallèles à un plan fixe soient des courbes fermées, et supposons que l'aire d'une section soit une fonction continue, <i^{x), de la distance x du plan sécant au plan fixe. Limitons un solide à l'intérieur de la surface, en menant deux plans sécants extrêmes aux distances x^^ et X du plan fixe.

Pour définir le volume du solide compris entre la surface et ces deux plans, décomposons ce solide en tranches par les plans consécutifs Xy, x^,-.- Xn. a-^+j =- X. Substituons à chacune des tranches, un cylindre a^-ant même base ^{Xk) et même hauteur

VOLUME d'un solide 887

{XfiJ^i — Xfi) Qt faisons la somme de tous ces cylindres. Cette somme sera

Faisons décroître d'une manière quelconque l'épaisseur de toutes les tranches, la somme précédente aura une limite déterminée, toujours la même, que l'on appelle le volume du solide. Cette limite est, en effet, par définition, l'intégrale définie

Cette formule donne le volume compris entre les plans a'i et X. Si l'on veut calculer le volume V compris entre les plans A-'o et X, il faudra se servir de la formule

(1) Y=r^{x)dx

Quand la fonction 'f{x) est connue, cette formule ramène à une simple intégration la détermination du volume V.

349. Exemples. — I. Ellipsoïde : -t + x^ + -V^ ^- Clierclions le volume compris entre deux plans perpendiculaires à l'axe des X. La section par un plan .v quelconque est une ellipse dont les demi-axes ont pour expressions

Donc, d'après la valeur connue de l'aire de l'ellipse (n" 332), nous aurons

(f{x) = -Kbc ( I —

Le volume compris entre les plans 0 et a- sera

V = .bc JX'-Ç) dx = u6c (.V - -|^).

Si X = a, on obtient la moitié du volume de l'ellipsoïde ; le

volume total sera donc '^Tzabc. Ce volume vaut les ^ du cylindre

qui a une des sections axiales de l'ellipsoïde pour base et l'axe normal à cette section pour hauteur, cylindre qui peut être circonscrit à l'ellipsoïde.

II. Paraboloïde elliptique : -^ -f-^ = 2a:. La section faite par

le plan .\- est une ellipse, dont les demi-axes sont b\/-2x et c \'2X, et l'aire i-bcx. Le volume du segment détaclié du paraboloïde l)ar un plan a' normal à l'axe, est donc