bc xdx
Jo
T.bcx^
C'est la moitié de celui du cylindre qui a même base et même hauteur que le segment du paraboloïde.
350. Solides de révolution. — L'aire cxui a été désignée par ^(x) s'obtient immédiatement dans le cas très étendu des solides de révolution autour de l'axe des x. Soient f{x) une fonction continue et y --= f{x) l'équation d'une courbe en coordonnées rectangulaires. En tournant autour de l'axe OX, cette courbe engendre une surface de révolution. La section faite par le plan x est un cercle de rayon y. Donc (p(.v) = Tzy-. Le volume Y du segment conix^ris entre les plans .Vo et x, sera donné par la formule
(2) V = TT r yHlx = r. rf{xYdx.
Cette formule s'applique aussi aux cas où la courbe est définie par une représentation paramétrique ou par son équation en coordonnées polaires. Il suffit d'exprimer y^dx en fonction de t ou en fonction de 0 et de donner comme limites à l'intégrale les valeurs limites de t ou de 9.
L'aire qui engendre le volume de révolution peut aussi être comprise entre deux courbes :
Vi = /-.(.v), 3-2 - fÀx), Cvi < 3-2). Dans ce cas, le volume de révolution est la différence des volumes engendrés par les deux courbes. On a donc
y = T.{''{y\ — y])dx.
Plus généralement, on peut clieiclierle volume engendré par la révolution de l'aire intérieure à une courbe fermée C, entièrement située au-dessus de OX. Supposons que le contour C puisse se décomposer en un nombre limité d'arcs sur lesquels x
VOLUME d'un solide 889
varie toujours dans le même sens. En raisonnant comme au n° 335, on verra que le volume de l'évolution s'exprime par l'intégrale curviligne
(4) Y=^-u( yhlx,
le contour C étant parcouru dans le sens direct (*).
351. Exemples de volumes de révolution. — I. Cycloïde. Supposons (]\\Q la révolution se fasse autour de la base ; on aura
y'-dx = a^^ (i — cos tf dt.
Le volume engendré par l'arc compris entre l'origine et le point qui a pour paramètre t, sera
' \{i — 3 coat 4- 3 cos'^ — cos''/) dt
Jo 7ia* 4 *^i"^ + - smf cos^ -1 ^^ —
Tza
Si f = 271, on obtient le volume 5rC-a^ engendré par l'arcade entière.
II. Tore. Le tore est engendré par la révolution d'un cercle autour d'une droite. Considérons le cercle
A.-" + {y - cY = a~,
dont l'équation donne deux valeurs pour v', à savoir
yj = C — Va- — x^ j-2 = c + sja^ — x^.
On en tire
yl — y] r= 4 cVa'- - x\
Faisons tourner le cercle autour de l'axe de x, le volume de la tranche du tore comprise entre les x^lans 0 et x s'évalue par la formule (3). Il vient
V = /\Tzc j sja^ — x^ dx = 27rc x\/a" — x'' + a^ arc sin -
(*j On peut généraliser ce résultat. En raisonnant comme au n" 347, ^^ montre que l'équation (4) subsiste, pourvu que le contour C soit quarrable et que l'intégi-ale curviligne ait un sens. Ceci aura lieu si le contour C, défini par x =■ (ù{t), y = <\i{t), est recti fiable et, plus généi-alement, si x seul est à variation bornée.
SgO CHAPITRE X. CALCUL DES AIRES, DÉS ARCS ET DES VOLUMES
Si X = a, on obtient la moitié du volume du tore. Le volume total sera donc 2Tz^ca'.
252. Aire d'une surface de révolution. — Considérons encore la surface engendrée par la révolution d'une courbe rectifiable quelconque autour de l'axe des a:. Supposons seulement que l'ordonnée de la courbe soit positive. Prenons comme variable l'arc s de la courbe compté à partir d'une origine fixe. Les coordonnées a: et y d'un point de la courbe seront des fonctions continues de s.
L'aire de la surface engendrée par la portion de la courbe comprise entre deux points extrêmes, est, par définition, la limite de l'aire engendrée par la révolution d'un polygone inscrit dont tous les côtés tendent vers zéro {*).
Soient .s-, et S les valeurs de s aux points extrêmes ; marquons sur la courbe une suite de points où s prend les valeurs successives S], Sg..., Sn, S)i+i = S. Soient.A:2 et r^ les valeurs de x et y quand s = Sj. Inscrivons un polygone ayant ces points pour sommets et soit Ci le côté qui joint (xi, yi) à (.v^+i, Vv+i). Ce côté engeudre en tournant la surface latérale d'un tronc de cône, laquelle a pour mesure, d'après la géométrie élémentaire,
L'aire engendrée par le polygone entier s'obtient en sommant toutes les expressions semblables à la précédente, ce qui peut, en introduisant des termes qui se détruisent, s'écrire comme il suit :
,.|il±rtti(,,^. ,,) ..s£^±i[ (s.,. - s.) -c.].
Considérons d'abord la seconde somme. Comme q est la corde de l'arc Sj-^j — s,, toutes les différences entre crochets sont positives. Donc, ]M désignant le maxime de y, cette seconde somme est moindre que
