M I [{Si+i — s,) — a] = 27cM[S — s, —le

(*j La déiiuitiou de laire d'une surface quelconque sera donnée dans le second volume.

Aire d'une surface de révolution Sgi

Comme l'arc S — Si est, par définition, la limite du périmètre ilfj, cette expression tend vers 0 avec les côtés Ci. L'aire de la surface de révolution est donc égale à la limite de la première somme. Mais la demi-somme de y, et y^^^ étant une valeur moyenne de y dans l'intervalle {si, Si^i) de s, la première somme tend, par définition, vers une intégrale définie quand tous ces intervalles tendent vers zéro ; et l'on obtient, pour l'aire A de la surface, la formule

(5) A=2zpyds.

Cette formule suppose l'arc rectifiable. On peut en déduire d'autres, applicables aux divers cas dans lesquels s n'est pas la variable indépendante. Celles-ci se déduisent de la précédente ])SiV un changement de variable, mais il faut des hypothèses plus restrictives.

Suivant que la courbe sera définie par une représentation paramétrique, par l'équation y ^- f{x), ou en coordonnées polaires, on aura, pourvu que les dérivées représentées par x', y' et r' existent et soient continues,

ds = dt \lx'' 4 r" - dx \Ji + y'- - f/9 V^'' + i"-. Prenant t, x ou 9 comme variable, on transformera donc, suivant le cas, la valeur (5) de A dans l'une des suivantes ;

271 j ysjx'-^ -\- y^dt, itz \ y\^\ + y'^ dx, iiz \\r sin H)\^?^7^d^,

les limites se rapportant aux extrémités de l'arc. Ce sont ces formules que l'on applique en pratique.

353. Aire de l'ellipsoïde de révolution. — Xous prendrons pour variable l'angle © déjà considéré au n° o3g. On a alors

a; = a sin cp, y =-^ ^ cos «f, ds -= d'f \Ja'^ cos" cp -j- b- sin^ (p.

Il y deux cas à distinguer suivant que l'ellipsoïde est de révolution autour du grand axe ou du petit.

i^* Ellipsoïde surhaussé (a > b). Soit £ = (Va^ — b~) : a l'excentricité absolue. Pour obtenir l'aire totale de l'ellipsoïde, il faut doubler l'aire engendrée par l'arc ayant pour extrémités Œ) = 0 et (X) = u : 2. On aura, par la relation e sin y = sin t,

S = /i~ab I \/i — £' siii'^ cp coH 'f (h ^ ±^^^ cos2 tdt,

n arc sine .Parcsme , , .1

Ce résultat se simplifie par la relation \/i — e^ = t : a ; il vient

^ r, . , , arc sin e S = 2TÎ p- + ab

2° Ellipsoïde surbaissé (a < b). Soit A* -= {\/b^ — a^) : a ; on aura

S =4-a/^ j'Vi + A-^sin^œcos'jdcp = /^~abkCy^-\- t^ dt. Cette intégrale a été calculée au n° 338 ; il vient

S = 2 TT aft [VM^^ + l Log- (A- + Vr+Â^] et, par relation sji ~\- k- = b : a,

S = 27Î ^b^- + ^ Log (A + vF+A^J .

Ces deux expressions donnent à la limite l'aire de la sj^lière en faisant tendre b vers a et, par conséquent, s et A vers zéro. On trouve la valeur connue /^'na^.

Exercices.

1 . Calculer les volumes et les surfaces engendrées par les révolutions :

1° d'une chainette autour de sa base ; 20 d'une spirale logarithmique autour de l'axe polaire ; 3° de la cardioïde : y = 2fl (i — cos 6) autour du même axe ; 4° de lemniscate : r~ = a-cos2^ autour du même axe.

Ces problèmes conduisent à des intégrales qui s'effectuent facilement sous forme finie.