Volumes engendrés par les révolutions

1° d'une spirale d'Archimède autour de l'axe polaire ; 2° d'une cissoïde autour de son asymptote.

Ces volumes se calculent également sous forme finie.

§ 5. Calcul des Intégrales définies par approximation.

354. Principe de la méthode. — Un grand nombre de problèmes relatifs à la mécanique, à la physique et à l'art de l'ingénieur

CALCUL DES INTEGRALES DEFINIES PAR APPROXIMATION

conduisent à des intégrales définies qu'il est impossible d'obtenir rigoureusement sous forme finie. Pour les calculer, il faut recourir aux formules d'approximation. Celles-ci sont d'autant plus avantageuses qu'elles exigent moins de calculs et comportent une exactitude plus grande. Il en existe un grand nombre. Nous allons faire connaître seulement les plus utiles et les plus élémentaires.

L'intégrale définie 1 /"(.v) dx, où nous supposerons f{x) posi-

tif et 6 > a, représente, comme on l'a \w, l'aire S limitée par la courbe y = f{x), l'axe OX et les deux droites x = a et oc = b. Le problème d'évaluer cette aire est donc le même que celui de calculer l'intégrale ; et réciproquement, toute détermination approchée de l'aire S fournii-a une valeur approximative de l'intégrale.

355. Détermination de limites supérieures et inférieures d'une intégrale définie. — Nous supposerons que, dans tout l'intervalle (a, b) de l'intégration, la courbe y = f{x) tourne sa concavité dans le même sens. Si cette condition n'était pas réalisée, il faudrait commencer par décomposer l'aire en plusieurs autres pour lesquelles la condition aurait lieu.

Nous supposerons, pour fixer les idées, que /a courbe tourne sa concavité vers le bas. Dans l'iiypotlièse inverse, l'ordre des limites que nous allons obtenir serait interverti. Une limite supérieure deviendrait une limite inférieure et réciproquement.

Ceci posé, on peut, d'après M. Mansion, procéder comme il suit pour enfermer l'intégrale

entre des limites que l'on sait évaluer :

On décompose l'intervalle (a, b) en un nombre 0 pair 2n de parties égales d'amplitude A =={b — a) : 2/1 par les points x\ = a, X2, x.

Fig, II.

Xin+i =" b ; puis on décompose

l'aire S à évaluer en segments consécutifs <Tj, c^g,... aojj (fig. 11)

en menant toutes les ordonnées correspondantes y^, y^,... y^n^-i-

La courbe tournant par hypothèse sa concavité vers le bas,

tout segment compris entre deux ordonnées quelconques y-i et

j/i surpasse le trapèze que l'on y inscrit en joignant les sommets des deux ordonnées.

On trouve ainsi, pour le segment a/^ compris entre les ordonnées Yk et y/i+i, l'inégalité

De même, pour le segment ag^ + '^a+i compris entre les ordonnées y^i et ^21+2,

(2) lit + <J2i+i > h {ya -\- y^i-^-z).

Mais on peut aussi assigner une limite supérieure aux segments. Tout segment compris entre deux ordonnées verticales est moindre que le trapèze qu'on lui circonscrit en menant à la courbe, entre ces ordonnées prolongées, une tangente intermédiaire quelconque. En particulier, le segment '^2i-\ + <^zi compris entre les ordonnées 72^-1 et y^+i est moindre que le trapèze qu'on lui circonscrit en menant la tangente au sommet de l'ordonnée médiane y^. Ce trapèze a pour mesure sa hauteur 2/1 multipliée par la moyenne y^t de ses bases. On a donc

(3) a2,i 4- S2i< 2hy2i.

De là résultent facilement diverses limites supérieures et inférieures pour l'aire totale S. Pour les écrire plus facilement, désignons par :

P la somme des ordonnées paires y^ + y\ + ... 4- y-^n ;

I celle des ordonnées impaires y^ + yg -f ... + yani-i ;

El celle des ordonnées impaires extrêmes y, -\- y2n+\ ;

Ej; celle des ordonnées paires extrêmes y^ + j2n.

On obtient d'abord une limite supérieure L par la formule (3). On a, en effet,

S == i: (<i2,i + ^2.) < 2/iP

Par conséquent,