S < L = 2AP

On obtient ensuite une première limite inférieure /par la formule (1), car on a

Sa^>^(2P4-2l-E0

par conséquent.

CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIES PAR APPROXIMATION SqS

Cette formule donne une valeur api)rocliée / de S ; on l'appelle la formule des trapèzes.

Enfin on peut obtenir une seconde limite inférieure /' en eombinant les formules (1) et (2). On a, en effet,

On remplace a, et ag,, par leurs limites (1) et les parenthèses par leurs limites (2), ce qui donne

S > h^l^^^ ^h{2V — Es) et, en réduisant,

(6) s >/■ = ;, [ap-i^:^'-].

Cette dernière limite a l'avantage de ne pas faire intervenir les ordonnées intermédiaires d'ordre impair. Quand on se sert des limites (4) et (6), on peut donc se dispenser de calculer ces ordonnées.

356. Formules de Poncelet et de Simpson. — Ces formules s'obtiennent par la combinaison des limites précédentes :

1° La formule de Poncelet s'obtient en donnant comme valeur à S la moyenne aritlimétitxue des valeurs L et /'. On trouve ainsi

L'erreur commise sera moindre en valeur absolue que

niais on en ignore le sens.

Cette limite de l'erreur peut se présenter géométriquement.

En effet, si l'on joint (fig. ii) les sommets A et B des ordonnées extrêmes y^ et 72»+ 1 et les sommets A' et B' des ordonnées extrêmes de rang pair 3% et jjn, ces deux droites AB et A'B' interceptent sur l'ordonnée du milieu y» "n segment PQ qui est précisément égal à (E2 — Ej) : 2, L'erreur est donc moindre que la moitié du rectangle construit sur ce segment PQ et la distance h de deux ordonnées consécutives.

La formule de Poncelet est très suffisamment exacte et elle

est surtout pratique à cause de sa simplicité. Elle ne nécessite pas le calcul des ordonnées intermédiaires de rang impair. 2° La formule de Simpson s'obtient en faisant

La formule de Simpson se montre presque toujours pratiquement la plus exacte. Mais les principes qui nous ont servi j usqu'ici ne suffisent pas pour justifier théoriquement de sa supériorité. Tout ce que nous voyons pour le moment, c'est que l'erreur ne peut surpasser

Pour justifier de la supériorité de la formule de Simpson, nous allons chercher par une autre voie une expression analytique de l'erreur commise. Cette expression pourra servir en pratique chaque fois que la dérivée quatrième de f{x) sera connue. Dans les autres cas, la formule de Poncelet sera préférable à celle de Simpson, car elle donnera un résultat aussi sûr avec moins de calculs.

357. Reste de la formule de Simpson. — Xous ax^pellerons reste de la formule de Simpson, la différence entre la vraie valeur de l'intégrale et celle que donne la formule de Simpson. î^ous allons donc chercher une expression commode de ce reste.

Nous pouvons nous affranchir de toutes les conditions que nous avons imposées à la fonction f{x) dans les numéros précédents. Par contre, nous devons en introduire une nouvelle : nous supposerons que les dérivées de f{x) sont déterminées et continues jusqu'au quatrième ordre inclus.

Xous commencerons par former l'expression du reste dans le cas où le calcul se fait avec deux subdivisions seulement. Il n'y a alors qu'un seul point de subdivision de l'intervalle d'intégration, nous le désignerons par a: et les valeurs extrêmes seront X — h, et X -{- h.

Soit F{x) une intégrale de f{x). La valeur exacte de l'aire cherchée sera

F{x + h) — F{x — h), et celle fournie par la formule de Simpson