CALCUL DES INTEGRALES DÉFINIES PAR APPROXIMATION

Considérons x comme donné et h comme variable ; les deux expressions précédentes seront fonctions de h et leur différence, ouïe reste de la formule, pourra se désigner j)arç;(/i). Il vient ainsi

'f{h) = F(A- + h) - ¥{x ~h)-^ [f{x 4- h) + f{x-li) + 4/-(a-)].

Comme le montre un calcul simple, cette fonction s'annule ainsi que ses dérivées premières et secondes pour h =^ 0 et la dérivée troisième a pour expression

?"'{h) = - I [/""(A- + h) - f"'ix - h)].

Désignons par ç une quantité inconnue mais comprise entre cV — h et .V + /ï ; le tliéorème des accroissements finis donne

^Multiplions snccessivemeut par dh et intégrons trois fois de suite les deux membres de cette équation entre 0 et h. On peut chaque fois, en vertu du théorème de la moyenne, et sans qu'il faille changer le sens général de i, faire sortir le facteur /"^^(i) du signe f et n'intégrer que la puissance de h. On trouve ainsi, puisque cp, ^' et cp" sont nuls pour /i = 0,

-fih) -= - 1 r (0 ^

Telle est l'expression simple et remarquable de l'erreur commise quand on applique la formule de Simpson avec deux subdivisions seulement. Si la courbe est une parabole du second ou du troisième degré, la dérivée 4*^ de f{x) est identiquement nulle et la formule de Simpson donne un résultat exact.

Revenons maintenant au cas général, envisagé au n° précédent, dans lequel il y a un nombre pair 2n de subdivisions. Considérons le segment ao^-i -f (Th de la courbe (n^ 354) com^^ris entre les ordonnées 722-1 et y 21+1- On peut le calculer par la formule que nous venons d'établir. Il vient ainsi

-2.-. 4- ^.i -- I [yn-, + y.i+. + 4r.d-i ra)^

où ^ est intermédiaire entre x-zi-i et x^i+i-

Faisons la somme des résultats précédents pour tous les indi-

ces i = I. 2,... n ; il viendra, E, étant maintenant compris entre a et b,

S = ^^ [2I + 4P - E,] - /i| py{k) ~

ou, comme 2/2/1 = b — a,

(9) S = ^ [2I + 4P E J - -^ (6 - a) /■iv(0

Cette formule coïncide avec la formule (8), à part le dernier terme. C'est la formule de Simpson complétée par l'expression du reste. Cette expression permet donc d'évaluer une limite de l'erreur commise par la formule primitive. Si la dérivée quatrième ne change pas de signe, le sens de l'erreur sera connu, puisqu'on connaîtra le signe du reste. Celui-ci pourra même servir à rectifier dans une certaine mesure le résultat obtenu.

Si h est très petit, l'erreur commise par la formule de Simpson sera très petite, car elle est seulement du quatrième ordre par rapport à h. C'est de là que vient la supériorité de cette formule sur les autres où l'erreur est d'un ordre de grandeur plus élevé.