CHAPITRE XI

Des séries.

§ Généralités sur les séries à termes constants. Séries positives.

358. Définitions. — On appelle série une suite indéfinie de quantités, réelles ou complexes, ii^, ii,^,... iin,"- formées suivant une loi déterminée et que l'on ajoute successivement les unes aux autres. Le terme iin se nomme le terme général de la série. Son expression donnée en fonction de n fait connaître toute la série. Soit

Sn- «1 + «2 + ..., + Un

la somme des n premiers termes de la série. Si, pour une valeur indéfiniment croissante de n, la somme Sn tend vers une limite finie et déterminée s, la série est convergente et s est la somme ou la valeur de la série. Si s„ ne tend vers aucune limite ou augmente indéfiniment, la série est divergente. Toutefois si Sn tend vers + co ou — oo nous disons que la série est infinie et a pour somme f go ou — oo.

Lorsqu'une série est convergente, la différence,

s Sn = J^n f

entre la somme de la série et celle des n premiers termes s'appelle le reste de la série à partir du n«'»«e terme. Ce reste est la somme de la série suivante :

Rn = Un+i + Un+i + •••j

qui est donc convergente (ou divergente) en même temps que la première. Ainsi, on peut toujours dans l'étude de la convergence d'une série faire abstraction d'un nombre limité de termes au début.