Caractère g-énéral de convergence. — Pour qu'une série

converge, il faut que les souinies successives s,, S2,... s„,... tendent vers une limite déterminée. De là (n°^ 16 et 46) on conclut la proposition suivante :

La condition nécessaire et suffisante pour la convergence d'une série est qu'à tout nombre positif t si petit qu'il soit, corresponde un nombre n tel que r inégalité

I Sn+p—Sn I < e

ait lieu pour tous les indices n -\- p supérieurs à n.

Ce théorème peut aussi se formuler comme il suit : Pour qu'une série converge, il est nécessaire et suffisant que l'on ait

p VARIANT d'une MANIERE ARBITRAIRE quaud n tend vcrs l'infini.

Corollaire. — Faisons p = i, le théorème précédent nous donne, en particulier, la condition suivante, toujours nécessaire, mais non suffisante pour la convergence :

Dans toute série convergente, le terme général Un a pour limite zéro pour n infini.

360. Converg-etice d'une progression géométrique. — Une des séries les plus utiles à considérer est la progression géométricxue

a -^ ak -\- ak- ^- ... + aA:« + ...

Si k diffère de i, on a ici

Sn=- a + ak + ... 4- aA"^-i -^ ^^\Z.T'^'

Si I A' I est < I, A-" tend vers 0 et s„ vers a : (i — A) ; la série converge.

Si I A I > I, le terme général aA" n'a pas pour limite 0, sauf si a --- 0 ; donc la série diverge, sauf si a = 0, auquel cas la série est nulle.

361. Séries positives. Formation de séries divergentes et convergentes. — Lorsque tous les termes d'une série Hun sont positifs (ou nuls) la série est dite positive. La somme s» est alors croissante (ou stationnaire) quand n augmente, de sorte qu'une série positive est convergente ou infinie.

Il est facile de donner un procédé général pour former des séries positives convergentes ou divergentes.