SÉRIES POSITIVES

Désignons, on effet, par M,j un nombre qui croît constamment jusqu'à l'infini avec l'indice n et formons les deux séries à termes positfs :

(M^ - M,) + (M3 - M,) -f ... = l{Mn+,- M„),

La première est divergente, car .s„ = M,j+i — M^ augmente à

l'infini avec n ; la seconde convergente, car s^ = ^ ;rf

Ml M„+i

converge vers ^r^.

Mj

Par exemple, si l'on prend M,j ^ Log n, on formera la série divergente

i: j^Log {n + i)- Log nj =- S Log(i -\-~J ; si l'on prend M,j -= 7i°'(a > 0), on formera la série convergente

362. Règles de convergence des séries positives tirées de la comparaison des séries entre elles. — I. Soient Hiin et Sy,i deux séries positives ; supposons qu'on ait constamment, à partir d'une valeur suffisamment grande de n,

ii,i sC Vn :

1° Si llvn converge, I>Un converge aussi ; 2° si I^Un diverge, I^Vn diverge aussi.

En effet, dans le premier cas, Sy^ étant fini, Hun l'est a fortiori et, par conséquent, converge ; dans le second, Sun étant infini, Hvn l'est a fortiori et diverge.

II. Si la série Ilu„ converge, la série 'Lvn obtenue en multipliant chaque terme de la précédente par des facteurs positifs et inférieurs à un nombre fixe A, converge aussi.

En effet, la série 'LAUn converge, car elle a évidemment pour somme ASu», donc Xy,î (qui a ses termes moindres) converge en vertu de la règle précédente. — On prouve de môme que :

Si la série I^Un diverge, la série Iy„ obtenue en multipliant chaque terme de la précédente par des facteurs supérieurs à un nombre positif fixe A, diverge aussi.

Ces deux règles inverses reufermeut évidemment eomme cas particulier la suivante :

III. 5/ le rapport iin : v^ tend vers une limite finie et différente de zéro, les deux séries Hun et ^Vn sont en même temps converifentes ou en même temps divergentes,

IV. Soient I.Un et I.Vu deux séries à termes positifs et différents de 0 ; supposons qu'on ait constamment, à partir d'une valeur suffisamment grande de n,

«n4-i Vn

1° Si la série Si»h converge, I.Un converge aussi ; 2° si Si/„ diverge, 'E.Vn diverge aussi.

On a, en effet, à partir d'une valeur déterminée de n,

^n Vn+ 1 Vn+ 2

Soit p la valeur du premier cjuotient ; on a, x)Our m > n,

Si -y„ et, par suite, Spfn convergent, 'Lun converge aussi en vertu de la règle I ; si ïlun et, par suite, I.{Un : p) divergent, Si7,î diverge aussi en vertu de la règle I.