Exemples. — i" La série dite harmonique
est divergente (en vertu de la règle III), car le rapport de son terme général (i : n) à celui de la série divergente S LogI i + - ) (n° 36i) a pour limite l'unité.
2° Au contraire, pour toute valeur positive et constante de a, la série
"" 7li+a""^ +2'+=^ ' 31+=' 41+^ "*
est convergente (en vertu de la règle III), car le rapxDort de son terme général à celui de la série convergente (n° 36i)
SÉRIES posiTn':ES 4^3
a pour limite i : a. En effet, le terme général de cette dernière série peut, par la formule des accroissements finis, prendre la forme a : (n + 8)^+°'.
3*^ La série
3Log3 4I^^g4 5Log5 "" nLogii est divergente. En effet, formons une série divergente par le procédé du n^ 36i en prenant M» = Log Log n ; cette série aura pour terme général M,,^^! — M», c'est-à-dire
Log Log (n + i) — Log Log 71
(/i + 0)Log(7i4 0)'
par la formule des accroissements finis. Le rapport de ce terme à I : (71 Log 7i) tend vers l'unité, donc la série S[i : [n Log 77)] diverge par la règle III.
364. Critères de Cauchy, — Xous appellerons critère de convergence ou de divergence toute règle qui permet de décider de la convergence ou de la divergence d'une série par une propriété de sou terme général, ou par une relation entre le terme général et un nombre limité de termes suivants.
Un critère est de première espèce s'il ne fait intervenir qu'un seul terme, de deuxième espèce s'il en fait intervenir deux, et ainsi de suite.
Critère de première espèce. — La série ^Un converge si l'expression
a 1777e limite < i })Our n infini, ou, plus généralement, finit par rester inférieure à un nombre k < i à partir d'une valeur suffisamment grande de n. Elle diverge si cette expression ne finit pas par devenir définitivement plus petite que l'unité.
En effet, dans la première hypothèse, les termes de la série deviennent inférieurs à ceux de même rang de la progression géométrique convergente S/f" ; donc la série converge. Dans la seconde hypothèse, le terme général Un n'ayant pas pour limite zéro, la série diverge.
Souvent le quotient 77„^-i : Un a une forme plus simple que Un,
4o4 CHAPITRE XI. DES SÉRIES
alors, le critère précédent étant cependant applicable, il est plus commode de se servir du suivant, qui est de 2*^ espèce.
Critère de deuxième espèce. — La série Hiin converge si le quotient
Un
finit par rester inférieur à un nombre k < i à partir d'une valeur suffisamment grande de n. Elle diverge, si ce quotient devient définitivement ^ i.
En effet, dans la première hypothèse, on a, à partir d'un indice convenable n,
Un + i < kUn, U,i+2 < k'Un,... Un+p < kP Un •
Donc les termes de la série commencée à ce terme, sont inférieurs à ceux de même rang de la progression géométrique convergente
Un+kUn+ ... -{-kPUn+ ...
et la série converge.
Dans la seconde hypothèse, Un cesse de décroître à partir d'un certain indice et, par conséquent, n'a pas pour limite 0.
Il arrive souvent que le rapport Un+ 1 : Un tend vers une limite déterminée A' quand n tend vers l'infini. La série sera convergente si k est < i et divergente si k est > i. Si A = i, on ne peut rien conclure et il faut recourir aux critères de deuxième espèce suivants :
365. Critères plus précis. — Règle de Raabe. La série positive 1.11,1 sera convergente, si l'on peut poser, k partir d'une valeur convenable de n, k désignant une constante > i.
Au contraire, elle sera divergente si l'on a
ihi+ 1 n
En particulier, la série est donc convergente ou divergente
selon que i expression n ( — i ) a une limite supérieure ou
inférieure a l'unité.
