SÉRIES POSITIVES
Démontrons d'abord la règle de convergence. Soit a un nombre i)Ositif < À" ; considérons la série convergente (no 363)
IVn=^ ,,^, dou =.1-4--
On en conclut
lln+i Vn+i n \ n
Quand n tend vers l'infini, le second membre a pour valeur
principale par la formule du binôme, il finit donc
par devenir positif, donc le x^remier membre aussi, ce qui prouve que la série Hiin converge, en vertu de la règle IV du n'^ 362.
Quant à la règle de divergence, c'est un cas particulier de la suivante qui est plus générale :
La série E«n sera divergente si l'on a, à partir d'une valeur suffisamment grande de n,
Un+i n nLog/i
En effet, considérons la série
n Log (n — i)'
qui est divergente comme -(i : n Log n) (n" 363), car le rapport des deux termes généraux tend vers l'unité. Pour la seconde série, on a
Vn+, ^ nyLog(/i— i) ' n Log {n — i)
et, par conséquent, par la formule des accroissements finis, qui donne Log n — Log (n — i) = i : (n ^ 9),
Vn+i. Il n Log {n — i)
Il vient donc
Vn+i Un+i /lL0g(/l — l) /iLog/l
donc la série ^Lun est divergente, en vertu de la règle IV du n» 362.
4o6 chaMtre xt. des sériés
Remarque. Les règles précédentes permettent de décider de la convergence ou de la divergence dans presque tous les cas qui se. rencontrent en x^ratique. En effet, le quotient iin : Un+i peut généralement se développer suivant les puissances de i : ii. On obtient alors un développement de la forme
Un+i n n-
où 0 conserve une valeur finie.
La série sera convergente si a > i ou si a = i, ^ > i ; divergente si a < I ou si a = i, [i ^ i.
366. Critère de Kuramer. — Soit a^, a...... an,.., une suite de
(juantitcs positives ; si, ii croissant indéfiniment, l'expression
Un
devient définitivement supérieure à un nombre positif fixe a, la série positive 2u„ converge.
Les termes au début de la série n'important pas, nous pouvons admettre que l'expression surpasse a pour toutes les valeurs de 12. Sommons alors, pour /i = i, 2,... n, toutes les inégalités :
a Un+x < anUn— a„+ 1 Un+1 l
il vient
a («2 + Us -f ... + Un+i) < aiW, — a«+i Un+i < a^u^,
donc Ï^Un , étant borné, converge.
Si l'on prend an = n, on obtient comme cas particulier la règle de Eaabe (u« 365).
Exercices.
I. Une série positve "^Uu est convergente ou divergente suivant que l'expression
Kï^~0-']^°«="
tend pour n infini vers une limite supérieure ou inférieure à l'unité.
R. Cas particulier de la règle de Kummer (a« = « Log«) et de la règle IV du n» 362.
3. Théorème de Cauchy. — Soit/(;iO une fonction positive décroissante et F(;i;) une intégrale de f{x), la série S/(«) converge selon que F(.r) est fini ou infini pour x infini positif.
