SÉRIES POSITIVES ^O'J

R. En effet, la série qui a pour terme général F{n + i) — F(w) converge ou diverge selon l'hypothèse. Parle théorème des accroissements finis, ce terme prend la forme f{n + 0) ; il est >/(;; + i) et < f{n). Donc, selon l'hypothèse, S/(;2 -|- i) converge a fortiori ou bien '^/{n) diverge a fortiori.

3. On considère une série positive divergente Ui + «2 + ... et une fonction /(a--) non croissante et tendant vers zéro pour x infini positif. Soient Su la somme des n premiers termes de la série et F{x) une intégrale de la fonction. On iorme les deux séries :

y-'{s„ )U„ , ^f{Sn-\)Un .

Montrer : lo que la première converge si V(,x) est borné pour x infini positif ; 2"^ que la seconde diverge si F(.v) croît indéfiniment avec .v ; 3° qu'elles convergent ou divergent en même temps si Un est borné (*).

R. Démonstration analogue à celle du théorème de Cauchy pour 1° et 2°. On prouve le 3° en montrant que la différence des deux séries est bornée avec u„.

4. Cas particuliers du théorème précédent : Si a est positif et tin borné,

S— ^ diverge, S " converge (Dini).

5. On considère une série positive convergente Wi + th + ... et une fonction/(A;) qui augmente à l'infini sans décroître quand x positif tend vers 0. Soient R« = m„+i + ••• le reste de la série et F(;i;) une intégrale de/(;i;)- Oii forme les deux séries :